オイラーの素数生成式の具体例・例題について

はるか

オイラーの素数生成式って、nが0から39まで素数を生成する。興味深い。

ふゅか

n が 0 のときに P(0) = 41、本当に素数になってる！

1. オイラーの素数生成多項式とは

1.1. 具体例

実際にいくつかの \(n\) について、多項式 \(P(n)\) が素数を生成する様子を見てみましょう。

• \( n = 0 \) のとき、\( P(0) = 0^2 + 0 + 41 = 41 \) （素数）
• \( n = 1 \) のとき、\( P(1) = 1^2 + 1 + 41 = 43 \) （素数）
• \( n = 2 \) のとき、\( P(2) = 2^2 + 2 + 41 = 47 \) （素数）
• \( n = 3 \) のとき、\( P(3) = 3^2 + 3 + 41 = 53 \) （素数）

このように、\( n = 39 \) までのすべての値に対して素数を生成します。しかし、\( n = 40 \) になると、\( P(40) = 40^2 + 40 + 41 = 1681 \) となり、これは素数ではなく、41の平方（\(41^2\)）です。このため、オイラーの多項式は無限に素数を生成するわけではありませんが、特定の範囲では非常に多くの素数を生成します。

はるか

nが40になると素数じゃなくなる。41の平方になる。

2. 例題

与えられた関数 \( f(n) = n^2 + n + q \) に対して、\( f(q-1) \) が \( q \) で割り切れることを示すために、まず \( f(q-1) \) を計算します。 \( n = q-1 \) のとき、

\[ f(q-1) = (q-1)^2 + (q-1) + q \]

\[ = (q^2 – 2q + 1) + (q-1) + q \]

これを簡単にすると、

\[ f(q-1) = q^2 – 2q + 1 + q – 1 + q \]

\[ f(q-1) = q^2 \]

\( f(q-1) = q^2 \) です。\( q^2 \) は \( q \) で割り切れるので、 \( f(q-1) \) は \( q \) で割り切れます。

はるか

q-1を代入して計算すると、q²になる。q²はqで割り切れる。