オイラーの公式の定義・性質・証明・例題について
1. オイラーの公式とは
$$\large\ e^{ix}=\cos x+i\sin x$$
$i$は虚数単位とする。
2. オイラーの公式の証明
2.1. マクローリン展開による証明
$\sin x,\cos x,e^{ix}$をそれぞれマクローリン展開する。
$\sin x$をマクローリン展開する。
$$\sin x=\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}-\ldots $$
$$=\sum\limits ^{\infty }_{k=0}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{\left( 2k+1\right) !}x^{2k+1}$$
$\cos x$をマクローリン展開する。
$$\cos x=\dfrac{1}{0!}-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}-\ldots $$
$$=\sum\limits ^{\infty }_{k=0}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{2k!}x^{2k}$$
$e^{ix}$をマクローリン展開する。
$$ e^{ix}=\dfrac{1}{0!}+\dfrac{i}{1!}x+\dfrac{i^{2}}{2!}x^{2}+\ldots $$
$$=\sum\limits ^{\infty }_{k=0}\dfrac{i^{k}}{k!}x^{k}$$
$$=\sum\limits ^{\infty }_{k=0}\dfrac{i^{2k+1}}{\left( 2k+1\right) !}x^{2k+1}+\sum \limits^{\infty }_{k=0}\dfrac{i^{2k}}{\left( 2k\right) !}x^{2k}$$
$$=i\sum \limits ^{\infty }_{k=0}\dfrac{\left( i\right) ^{2k}}{\left( 2k+1\right) !}x^{2k+1}+\sum\limits ^{\infty }_{k=0}\dfrac{i^{2k}}{\left( 2k\right) !}x^{2k}$$
$i^{2k}=(-1)^k$より、
$$=i\sum \limits^{\infty }_{k=0}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{\left( 2k+1\right) !}x^{2k+1}+\sum \limits^{\infty }_{k=0}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{\left( 2k\right) !}x^{2k}$$
$$=\cos x+i\sin x$$
2.2. 微分による証明
$$f\left( x\right) =\left( \cos x-i\sin x\right) e^{ix}$$
とおいたとき、微分をすると、
$$f’\left( x\right) =\left( -\sin x-i\cos x\right) e^{ix}+i\left( \cos x-i\sin x\right) e^{ix}$$
$$=e^{ix}\left( -\sin x-i\cos x+i\cos x+\sin x\right) $$
$$=0$$
$f’\left( x\right)=0$より、$f\left( x\right)$は定数関数であることがわかる。
したがって、$f\left( x\right)=f\left( 0\right)$より、
$$f\left( x\right)=f\left( 0\right)$$
$$=\cos 0-i\sin 0$$
$$=1$$
したがって両辺に、$\cos x+i\sin x$をかけると、
$$\left( \cos x-i\sin x\right) \left( \cos x+i\sin x\right) e^{ix}=\cos x+i\sin x$$
$$\Leftrightarrow \left( \cos ^{2}x+\sin ^{2}x\right) e^{ix}=\cos x+i\sin x$$
$$\therefore e^{ix}=cosx+i\sin x$$
2.3. 微分方程式による証明
$$f\left( x\right) =\cos x+i\sin x$$
のとき、$y=f\left( x\right)$とすると、
$$f\left( 0\right) =\cos 0+i\sin 0$$
$$=1$$
を満たす。したがって、$y$を微分すると、
$$\dfrac{dy}{dx}=-\sin x+i\cos x$$
$$=i\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{i}\right) $$
$$=i\left( \cos x+i\sin x\right) $$
$$\therefore\dfrac{dy}{dx}=iy$$
$\dfrac{dy}{dx}=ay$の微分方程式の解は$Ce^{ax}$より、
$$y=Ce^{ix}$$
$x=0$のとき、$y=1$だから、$C＝1$である。したがって、$y=f\left( x\right)$より、
$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$
3. オイラーの公式の性質
3.1. \(\cos x\) の表現
\[ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \]
オイラーの公式に \(x\) と \(-x\) を適用し、それを足すと、
\[ e^{ix} + e^{-ix} = (\cos x + i \sin x) + (\cos x - i \sin x) = 2 \cos x \]
したがって、
\[ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \]
3.2. \(\sin x\) の表現
\[ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \]
同様に、オイラーの公式に \(x\) と \(-x\) を適用し、それらの差を取ると、
\[ e^{ix} - e^{-ix} = (\cos x + i \sin x) - (\cos x - i \sin x) = 2i \sin x \]
したがって、
\[ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \]
このように、\(\sin x\) と \(\cos x\) を複素指数関数の形で表すことができます。
3.3. オイラーの等式
\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]
3.4. 回転
オイラーの公式は、複素平面上での回転を表現しています。具体的には、複素数 \( z = e^{ix} \) は、原点を中心に角度 \( x\) だけ反時計回りに回転させた点に対応します。
4. 例題
回転するためにオイラーの公式を使用します。90 度の回転を行うので、角度 \( \theta = \frac{\pi}{2} \) です。
複素数を回転させるには、回転する複素数に \( e^{i\theta} \) を掛けます。
\[ z’ = z \cdot e^{i\theta} \]
ここで、$e^{i\frac{\pi}{2}}$を計算すると次のようになります。
\[ e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i \]
複素数の掛け算を行います。
\[ (3 + 4i) \cdot i = 3i + 4i^2 \]
\[ = 3i - 4 \]
したがって、回転後の複素数は \[ z’ = -4 + 3i \] となります。
