偶関数と奇関数の積の性質を理解しよう

はるか

偶関数と奇関数の積の性質が気になる。

ふゅか

うん、面白そうね！偶関数と奇関数には特別な性質があるのよね♪

1. 偶関数と奇関数の積の性質

偶関数と奇関数の積には興味深い性質があります。以下にそれぞれの性質を詳しく説明します。

偶関数と奇関数については次の記事で解説しています。

偶関数と奇関数とは？具体例でわかりやすく解説

1.1. 偶関数と偶関数の積

はるか

まず、偶関数同士の積はどうなる？

ふゅか

偶関数同士の積は偶関数になるわ！例えば、\( f(x) = x^2 \) と \( g(x) = \cos(x) \) の積は偶関数になるの。

偶関数 \(f(x)\) と \(g(x)\) の積 \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\) は、以下のように偶関数となります。 \[ f(-x) = f(x) \] \[ g(-x) = g(x) \] \[ h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot g(x) = h(x) \]

したがって、偶関数の積は偶関数です。

1.2. 偶関数と奇関数の積

はるか

次に、偶関数と奇関数の積は？

ふゅか

偶関数と奇関数の積は奇関数になるわね。例えば、\( f(x) = x^2 \) と \( g(x) = x \) の積は奇関数になるのよ♪

偶関数 \(f(x)\) と奇関数 \(g(x)\) の積 \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\) は、以下のように奇関数となります。 \[ f(-x) = f(x) \] \[ g(-x) = -g(x) \] \[ h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -f(x) \cdot g(x) = -h(x) \]

したがって、偶関数と奇関数の積は奇関数です。

1.3. 奇関数と奇関数の積

ふゅか

奇関数同士の積は偶関数になるの。例えば、\( f(x) = x \) と \( g(x) = \sin(x) \) の積は偶関数になるわ！

奇関数 \(f(x)\) と \(g(x)\) の積 \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\) は、以下のように偶関数となります。 \[ f(-x) = -f(x) \] \[ g(-x) = -g(x) \] \[ h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = h(x) \]

したがって、奇関数の積は偶関数です。

2. 積の具体例

ふゅか

うん、次は具体例を見てみようか！

はるか

そうしよう。

1. 偶関数と偶関数の積
   • \( f(x) = x^2 \)
   • \( g(x) = \cos(x) \)
   • \( h(x) = x^2 \cdot \cos(x) \)
   • \( h(-x) = (-x)^2 \cdot \cos(-x) = x^2 \cdot \cos(x) = h(x) \)
2. 奇関数と奇関数の積
   • \( f(x) = x \)
   • \( g(x) = \sin(x) \)
   • \( h(x) = x \cdot \sin(x) \)
   • \( h(-x) = (-x) \cdot \sin(-x) = -x \cdot (-\sin(x)) = x \cdot \sin(x) = h(x) \)
3. 偶関数と奇関数の積
   • \( f(x) = x^2 \)
   • \( g(x) = x \)
   • \( h(x) = x^2 \cdot x = x^3 \)
   • \( h(-x) = (-x)^2 \cdot (-x) = x^2 \cdot (-x) = -x^3 = -h(x) \)

3. まとめ

余談となりますが、符号だけに着目して偶関数を正の数、奇関数を負の数とみなして、掛け算を計算すると答えは一致します。偶関数同士の積は正の数同士の掛け算（偶関数になる）、奇関数同士の積も負の数同士の掛け算で正の数（偶関数になる）、偶関数と奇関数の積は正と負の数の掛け算（奇関数になる）と同様です。このように、符号に注目することで偶関数と奇関数の積を判断することができます。