式の展開と文字、有名な公式の具体例と例題について
1. 式の展開と文字
1.1. 文字の役割
数式における文字は、変数として使用され、具体的な数値を表すこともあれば、未知数や一般的な数を表すこともあります。
- 変数：式の中で数値を代表する記号。例えば、\( x \)、\( y \)、\( a \)、\( b \)などです。
- 定数：特定の固定された数値を持つ記号。例えば、\( 3 \)、\( 5 \)、\( -2 \)など。
1.2. 式の展開とは
- かっこの外にある数や文字を、かっこの中のすべての項に掛ける
- 同類項（同じ文字を持つ項）をまとめる
例えば、次の式を展開します。
\[ (a + b)(c + d) \]
この式を展開するためには、それぞれの項を互いに掛け合わせます。
\[ = ac + ad + bc + bd \]
これが式の展開です。
1.3. 展開の具体例
次に、もう少し複雑な例を見てみましょう。
\[ (x + 2)(x – 3) \]
この式を展開するには、各項を掛け合わせます。
- 最初の項同士を掛ける：\( x \cdot x = x^2 \)
- 外側の項を掛ける：\( x \cdot (-3) = -3x \)
- 内側の項を掛ける：\( 2 \cdot x = 2x \)
- 最後の項同士を掛ける：\( 2 \cdot (-3) = -6 \)
これらを全てまとめると、
\[ x^2 – 3x + 2x – 6 \]
同類項をまとめると、
\[ x^2 – x – 6 \]
これが展開された式です。
2. 有名な式
\[ \begin{align*} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 &= a^2 – 2ab + b^2 \\ (a+b)(a-b) &= a^2 – b^2 \\ (a+b)^3 &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a-b)^3 &= a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \\ (a+b)(a^2-ab+b^2) &= a^3 + b^3 \\ (a-b)(a^2+ab+b^2) &= a^3 – b^3 \\ (a+b+c)^2 &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \\ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) &= a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \end{align*} \]
2.1. 計算
ここでは、それぞれの公式を使った展開の例を示し、計算のプロセスを丁寧に解説します。公式を理解し、正確に展開できるようにしましょう。
2.2. $(a+b)^2$ の計算
まずは $(a+b)^2$ の展開を見てみましょう。
\[ \begin{align*} (a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\ &= a^2 + ab + ba + b^2 \\ &= a^2 + 2ab + b^2 \end{align*} \]
このように、二項の平方の公式を使うことで簡単に展開できます。$a$ と $b$ の積を2倍する点がポイントです。
2.3. $(a-b)^2$ の計算
次に、 $(a-b)^2$ を展開してみましょう。
\[ \begin{align*} (a-b)^2 &= (a-b)(a-b) \\ &= a^2 – ab – ba + b^2 \\ &= a^2 – 2ab + b^2 \end{align*} \]
この公式は $(a+b)^2$ の符号を逆にしたものと考えると覚えやすいです。
2.4. $(a+b)(a-b)$ の計算
次に「平方の差」として知られる公式 $(a+b)(a-b)$ の展開です。
\[ \begin{align*} (a+b)(a-b) &= a^2 – ab + ba – b^2 \\ &= a^2 – b^2 \end{align*} \]
この公式は、積の形から2つの平方の差に直接結びつけることからよく利用されます。
2.5. $(a+b)^3$ の計算
次に、 $(a+b)^3$ の展開を考えてみましょう。
\[ \begin{align*} (a+b)^3 &= (a+b)(a+b)^2 \\ &= (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) \\ &= a^3 + a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 \\ &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{align*} \]
この公式では $a$ と $b$ の各項が異なる次数で現れるため、計算の際にミスをしないように注意が必要です。
2.6. $(a-b)^3$ の計算
$(a-b)^3$ の展開を見てみます。
\[ \begin{align*} (a-b)^3 &= (a-b)(a-b)^2 \\ &= (a-b)(a^2 – 2ab + b^2) \\ &= a^3 – a^2b + ab^2 – a^2b + 2ab^2 – b^3 \\ &= a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \end{align*} \]
$(a+b)^3$ と比べて符号の違いに注意して展開を行いましょう。
2.7. $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ の計算
次に、 $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ を展開してみましょう。
\[ \begin{align*} (a+b)(a^2-ab+b^2) &= a^3 – a^2b + ab^2 + a^2b – ab^2 + b^3 \\ &= a^3 + b^3 \end{align*} \]
この公式は、2項の和の立方としてよく利用されます。
2.8. $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ の計算
次に、 $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ の展開を見てみましょう。
\[ \begin{align*} (a-b)(a^2+ab+b^2) &= a^3 + a^2b + ab^2 – a^2b – ab^2 – b^3 \\ &= a^3 – b^3 \end{align*} \]
これは立方差の公式であり、符号の違いに注意が必要です。
2.9. $(a+b+c)^2$ の計算
次に、3つの項を含む平方公式 $(a+b+c)^2$ の展開です。
\[ \begin{align*} (a+b+c)^2 &= \{(a+b)+c\}^2 \\ &= (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2 \\ &= a^2 + 2ab + b^2 + 2bc + 2ca + c^2 \\ &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \end{align*} \]
この公式では、3つの項の全ての組み合わせを含むため、計算の際に順序や項の取りこぼしに注意が必要です。
2.10. $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ の計算
最後に、 $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ の展開を確認します。
\[ \begin{align*} (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) &= a^3 + a^2b + a^2c – a^2b – abc – a^2c + b^3 + b^2a + b^2c – b^2a – b^2c – bc^2 + c^3 + c^2a + c^2b – c^2a – c^2b – abc \\ &= a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \end{align*} \]
