指数分布の性質と期待値、分散について
1. 確率密度関数
$f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0)\\
0 & (x < 0)
\end{array}
\right.
$
2. 期待値と分散
指数分布の期待値$E[X]$と分散$V[X]$は 次のようになります。
$$E[X]=\dfrac{1}{\lambda}$$ $$V[X]=\dfrac{1}{\lambda^2} $$
指数分布の期待値と分散の計算は、積分を使用して行います。
2.1. 期待値 \( E[X] \) の計算
期待値は次のようになります。
\[ E(X) = \int_0^\infty x f(x) dx = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx \]
ここで部分積分を使います。
\[\displaystyle\int _0^\infty x\lambda e^{-\lambda x} dx =\displaystyle[ -x e^{-\lambda x} ]_0^\infty + \int e^{-\lambda x} \, dx \]
無限大での \( x e^{-\lambda x} \) の値は 0 に収束し、下限は 0 です。そのため、残る積分は、
\[ \int _0^\infty e^{-\lambda x} dx = \left[\dfrac{-1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^\infty = \frac{1}{\lambda} \]
したがって、
\[ E(X) = \frac{1}{\lambda} \]
2.2. 分散 \( V[X] \) の計算
分散は \( \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \) で定義されます。まず \( E(X^2) \) を計算します：
\[ E(X^2) = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx \]
部分積分を適用すると、
\[ \int x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \left[-x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int _0^\infty 2x e^{-\lambda x} \, dx \]
前述の \( E(X) \) の計算で求めた \( \int x e^{-\lambda x} \, dx = \dfrac{1}{\lambda^2} \) を利用すると、
\[ \int _0^\infty 2x e^{-\lambda x} dx = 2 \times \frac{1}{\lambda^2} = \frac{2}{\lambda^2} \]
したがって、
\[ E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2} \]
よって、分散は
\[ V[X] = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2} \]
指数分布の期待値と分散が \( E[X] = \dfrac{1}{\lambda} \)、\( V[X] = \dfrac{1}{\lambda^2} \) であることがわかりました。
3. 指数分布の無記憶性
\[ P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) \]
3.1. 無記憶性の証明
指数分布が無記憶性を持つことを示すには、以下の等式を証明します。
\[ P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) \]
3.1.1. ステップ 1: 左辺の計算
条件付き確率の定義により、左辺は次のように計算できます。
\[ P(X > s + t \mid X > s) = \frac{P((X > s + t) \cap ( X > s))}{P(X > s)} \]
$(X > s + t) \cap ( X > s))$は\( X > s + t \) より、
\[ P(X > s + t \mid X > s) = \frac{P(X > s + t)}{P(X > s)} \]
3.1.2. ステップ 2: \( P(X > x) \) の計算
指数分布において、$P(X > x)$は次のように計算されます。
\[ P(X > x) = \int_x^\infty \lambda e^{-\lambda y} \, dy = e^{-\lambda x} \]
これを使って、分母と分子を計算する。
\[ P(X > s + t) = e^{-\lambda (s + t)} \]\[ P(X > s) = e^{-\lambda s} \]
3.1.3. ステップ 3: 条件付き確率の計算
これらを条件付き確率の式に代入します。
\[ P(X > s + t \mid X > s) = \frac{e^{-\lambda (s + t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t) \]
これにより、指数分布が無記憶性の性質を持つことが示されました。
