指数分布の性質と期待値、分散について

私たちの身の回りには、「次に何かが起こるまでの時間」を扱う場面がたくさんあります。たとえば、バスが来るまでの時間、ある機械が故障するまでの時間、あるいは電話が鳴るまでの時間などです。

こうした「待ち時間」をモデル化する際に登場するのが指数分布という確率分布です。

この記事では、指数分布の確率密度関数から始めて、期待値や分散の計算方法、さらに指数分布特有の「無記憶性」という性質について、やさしく丁寧に解説していきます。数式にも触れますが、ひとつひとつの意味を理解しながら読み進めていただければ、指数分布がぐっと身近に感じられるはずです。

それでは、まずは指数分布の基本となる確率密度関数から見ていきましょう。

1. 確率密度関数

2. 期待値と分散

指数分布の期待値と分散の計算は、積分を使用して行います。

2.1.  期待値 $E[X]$ の計算

期待値は次のようになります。

$$E(X) = \int_0^\infty x f(x)  dx = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx$$

ここで部分積分を使います。

$$\displaystyle\int _0^\infty x\lambda e^{-\lambda x} dx =\displaystyle[ -x e^{-\lambda x} ]_0^\infty + \int e^{-\lambda x} \, dx$$

無限大での $x e^{-\lambda x}$ の値は 0 に収束し、下限は 0 です。そのため、残る積分は、

$$\int _0^\infty e^{-\lambda x}  dx = \left[\dfrac{-1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^\infty = \frac{1}{\lambda}$$

したがって、

$$E(X) = \frac{1}{\lambda}$$

2.2. 分散 $V[X]$ の計算

分散は $\text{Var}(X) = E(X^2) – [E(X)]^2$ で定義されます。まず $E(X^2)$ を計算します：

$$E(X^2) = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx$$

部分積分を適用すると、

$$\int x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \left[-x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int _0^\infty 2x e^{-\lambda x} \, dx$$

前述の $E(X)$ の計算で求めた $\int x e^{-\lambda x} \, dx = \dfrac{1}{\lambda^2}$ を利用すると、

$$\int _0^\infty 2x e^{-\lambda x} dx = 2 \times \frac{1}{\lambda^2} = \frac{2}{\lambda^2}$$

したがって、

$$E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$$

よって、分散は

$$V[X] = \frac{2}{\lambda^2} – \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}$$

指数分布の期待値と分散が $E[X] = \dfrac{1}{\lambda}$、$V[X] = \dfrac{1}{\lambda^2}$ であることがわかりました。

3.  指数分布の無記憶性

3.1. 無記憶性の証明

指数分布が無記憶性を持つことを示すには、以下の等式を証明します。

$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$

3.1.1. ステップ 1: 左辺の計算

条件付き確率の定義により、左辺は次のように計算できます。

$$P(X > s + t \mid X > s) = \frac{P((X > s + t) \cap ( X > s))}{P(X > s)}$$

$(X > s + t) \cap ( X > s))$は$X > s + t$ より、

$$P(X > s + t \mid X > s) = \frac{P(X > s + t)}{P(X > s)}$$

3.1.2. ステップ 2: $P(X > x)$ の計算

指数分布において、$P(X > x)$は次のように計算されます。

$$P(X > x) = \int_x^\infty \lambda e^{-\lambda y} \, dy = e^{-\lambda x}$$

これを使って、分母と分子を計算する。

$$P(X > s + t) = e^{-\lambda (s + t)}$$$$P(X > s) = e^{-\lambda s}$$

3.1.3. ステップ 3: 条件付き確率の計算

これらを条件付き確率の式に代入します。

$$P(X > s + t \mid X > s) = \frac{e^{-\lambda (s + t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t)$$

これにより、指数分布が無記憶性の性質を持つことが示されました。