更新:2025/01/06

指数分布とモーメント母関数を利用した計算について

はるか
はるか
指数分布って、待ち時間の分布とかに使われるやつ。
ふゅか
ふゅか
そうそう!例えば、電話が次にかかってくるまでの時間とかね。便利な確率分布だよね!

1. 指数分布とは

指数分布は、連続確率分布の一種で、主に以下のような場面で使われます。

  • 待ち時間の分布例: あるイベント(電話がかかってくる、信号が青に変わるなど)の発生までの時間。

1.1. 確率密度関数(PDF)

指数分布確率密度関数は次のように表されます。

\[ f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases} \]

ここで:

  • \( \lambda \) は正のパラメータ(率パラメータ)で、平均発生率を示します。
  • \( x \) は時間や距離などの非負の実数です。

2. 母関数とは

2.1. 母関数

モーメント母関数は、次のように定義されます。

\[ M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x) \, dx \]

はるか
はるか
モーメント母関数は、期待値と分散の計算に使える。

3. 母関数の計算

指数分布の確率密度関数(PDF)は次の通りです。

\[ f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases} \]

モーメント母関数は以下で定義されます。

\[ M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \int_{0}^\infty e^{tx} f(x; \lambda) \, dx \]

これを指数分布の場合に適用すると、

\[ M_X(t) = \int_{0}^\infty e^{tx} \lambda e^{-\lambda x} \, dx \]

積分を計算します。

\[ M_X(t) = \lambda \int_{0}^\infty e^{-(\lambda - t)x} \, dx \]

したがって、

\[ M_X(t) = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda - t} = \frac{\lambda}{\lambda - t} \quad (\text{for } t < \lambda) \]

4. 期待値(平均)

期待値はモーメント母関数の1階微分を \( t = 0 \) で評価することで求まります。

\[ \mathbb{E}[X] = M_X'(0) \]

まず、モーメント母関数を微分します。

\[ M_X'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right) = \frac{\lambda}{(\lambda - t)^2} \]

\( t = 0 \) を代入すると、

\[ M_X'(0) = \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda} \]

したがって、期待値は \( \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda} \) です。

5. 分散

分散は次の式で求めます。

\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \]

まず、2階微分を計算します。

\[ M_X”(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\lambda}{(\lambda - t)^2} \right) = \frac{2\lambda}{(\lambda - t)^3} \]

\( t = 0 \) を代入すると、

\[ M_X”(0) = \frac{2\lambda}{\lambda^3} = \frac{2}{\lambda^2} \]

これを使って \( \mathbb{E}[X^2] \) を求めます。

\[ \mathbb{E}[X^2] = M_X”(0) = \frac{2}{\lambda^2} \]

次に分散を計算します。

\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2 \]

\[ \text{Var}(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \]

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