指数分布とモーメント母関数を利用した計算について
1. 指数分布とは
指数分布は、連続確率分布の一種で、主に以下のような場面で使われます。
- 待ち時間の分布例: あるイベント（電話がかかってくる、信号が青に変わるなど）の発生までの時間。
1.1. 確率密度関数（PDF）
\[ f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases} \]
ここで:
- \( \lambda \) は正のパラメータ（率パラメータ）で、平均発生率を示します。
- \( x \) は時間や距離などの非負の実数です。
2. 母関数とは
2.1. 母関数
モーメント母関数は、次のように定義されます。
\[ M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x) \, dx \]
3. 母関数の計算
指数分布の確率密度関数（PDF）は次の通りです。
\[ f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases} \]
モーメント母関数は以下で定義されます。
\[ M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] = \int_{0}^\infty e^{tx} f(x; \lambda) \, dx \]
これを指数分布の場合に適用すると、
\[ M_X(t) = \int_{0}^\infty e^{tx} \lambda e^{-\lambda x} \, dx \]
積分を計算します。
\[ M_X(t) = \lambda \int_{0}^\infty e^{-(\lambda - t)x} \, dx \]
したがって、
\[ M_X(t) = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda - t} = \frac{\lambda}{\lambda - t} \quad (\text{for } t < \lambda) \]
4. 期待値（平均）
期待値はモーメント母関数の1階微分を \( t = 0 \) で評価することで求まります。
\[ \mathbb{E}[X] = M_X'(0) \]
まず、モーメント母関数を微分します。
\[ M_X'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right) = \frac{\lambda}{(\lambda - t)^2} \]
\( t = 0 \) を代入すると、
\[ M_X'(0) = \frac{\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda} \]
したがって、期待値は \( \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda} \) です。
5. 分散
分散は次の式で求めます。
\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \]
まず、2階微分を計算します。
\[ M_X”(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\lambda}{(\lambda - t)^2} \right) = \frac{2\lambda}{(\lambda - t)^3} \]
\( t = 0 \) を代入すると、
\[ M_X”(0) = \frac{2\lambda}{\lambda^3} = \frac{2}{\lambda^2} \]
これを使って \( \mathbb{E}[X^2] \) を求めます。
\[ \mathbb{E}[X^2] = M_X”(0) = \frac{2}{\lambda^2} \]
次に分散を計算します。
\[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2 \]
\[ \text{Var}(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2} \]
