更新:2024/11/24

指数関数とは？指数関数のグラフと性質、応用について

$ふゅか$

ふゅか

指数関数って色々なところで使われているのよ！例えば、複利計算とか人口増加とか♪

$はるか$

はるか

うん。数学でもよく出てくる。

1. 指数関数とは

指数関数とは、次のような形をした関数のことです。

\[ f(x) = a^x \]

ここで、$a$ は正の定数（通常は $a > 0$ で $a \neq 1$）、$x$ は変数です。この式は、 $a$ の $x$ 乗を表します。たとえば、$a = 2$ の場合、指数関数は次のようになります。

\[ f(x) = 2^x \]

最もよく使われる指数関数の底は、自然対数の底（ネイピア数）$e$ です。$e$ は約 2.718 で、次のような形になります。

\[ f(x) = e^x \]

この関数は、微分しても変わらない関数として知らている。

指数関数のグラフは、基数によって異なります。例えば、$a > 1$ の場合、グラフは急激に上昇し、$0 < a < 1$ の場合、緩やかに下降します。次のグラフは、底が 2 と 1/2 の場合の例です。

この範囲では、底 $ a $ の値が1より小さい正の数になります。

単調減少：$ x $ が増加すると、関数 $ a^x $ は減少します。つまり、$x_1<x_2$に対して、$f(x_1)>f(x_2)$になります。
正の値を取る：どの $ x $ に対しても $ a^x $ は常に正の値を取り、負の値にはなりません。
グラフの特徴：グラフは $ x \to \infty $ で $ 0 $ に近づきます。一方で、$ x \to -\infty $ のときは $ 0 $ に急激に上昇ます。

例えば、$ a = \dfrac{1}{2} $ を考えてみましょう。$ f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x $とすると、

$0<1<2$となり、$f(0)>f(1)>f(2)$となり単調減少になっています。また、グラフは右肩下がりの曲線になります。

$a > 1$の範囲では、底 $ a $ の値が1より大きくなります。

単調増加：$ x $ が増加すると、関数 $ a^x $ は急激に増加します。つまり、$x_1<x_2$に対して、$f(x_1)<f(x_2)$になります。
正の値を取る：どの $ x $ に対しても、$ a^x $ は常に正の値です。
グラフの特徴：グラフは $ x \to \infty $ で急激に上昇しますが、$ x \to -\infty $ のときは $ 0 $ に近づきます。

例えば、$ a = 2 $ をを考えてみましょう。$ f(x) = 2^x $とすると、

$0<1<2$となり、$f(0)<f(1)<f(2)$となり単調増加になっています。また、グラフは右肩上がりの急な曲線になります。

$はるか$

はるか

急激に増加する。グラフを見るとわかる。

$ふゅか$

ふゅか

うん、まるでジェットコースターみたいに急に上がる感じ！この変化の速さがすごいのよ♪

指数関数は、日常生活や科学技術においても非常に重要です。例えば、以下のような場面で活用されます。

複利計算：銀行預金や投資の利息計算で、指数関数は重要な役割を果たします。複利計算は、時間が経つごとに利息が利息に対しても計算されるため、指数関数的に増加します。
人口増加：人口の増加や細胞分裂などの現象は、指数関数で表現されることが多いです。一定の割合で増加する現象をモデル化する際に便利です。
放射性物質の崩壊：放射性物質の崩壊速度も指数関数で表され、一定時間ごとに物質が半減する「半減期」が指数関数的な性質を持っています。