【候補の見つけ方のコツ！】因数定理の証明と例題について

1. 因数定理

因数定理は、代数における多項式の性質に関する定理で、次のように述べられます。

言い換えると、もし $f(a) = 0$ であれば、$f(x)$ は $(x – a)$ で割り切れるということです。

1.1. 具体例

例えば、多項式 $f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6$ について考えます。この多項式に対して $x = 1$ を代入すると、

$$f(1) = 1^3 – 6 \times 1^2 + 11 \times 1 – 6 = 0$$

つまり、$x = 1$ は $f(x)$ の根であるので、因数定理によって $(x – 1)$ は $f(x)$ の因数であることがわかります。

この場合、実際に $f(x)$ を $(x – 1)$ で割ってみると、商は $x^2 – 5x + 6$ となり、完全に割り切れます。したがって、

$$f(x) = (x – 1)(x^2 – 5x + 6)$$

さらに、$x^2 – 5x + 6$ も因数分解できるので、最終的に

$$f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)$$ となります。

このように、因数定理を利用することで多項式の因数を見つけやすくなります。

2. 因数定理の候補の見つけ方

2.1. 因数 $r$ の候補の見つけ方

多項式 $f(x)$ が次の形で表されているとします。

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

ここで、$a_n$ が最高次の係数、$a_0$ が定数項です。定数項と最高次項の係数に注目します。

候補となる $r$ の値を代入して、$f(r) = 0$ を満たすか確認します。もし $f(r) = 0$ ならば、$x – r$ は因数です。

2.2. 具体例

例えば、次の多項式を考えます。

$$f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 8x – 12$$

• 定数項 $a_0 = -12$
• 最高次の係数 $a_n = 2$

2.3.  定数項の約数

定数項 $-12$ の約数は次の通りです。 $$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$$

2.4. 最高次係数の約数

最高次項の係数 $2$ の約数は次の通りです。 $$\pm 1, \pm 2$$

2.5. 候補の $r$ の値

したがって、候補の $r$ は次の形になります。

$$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm \frac{3}{2}, \pm 3, \pm \frac{6}{2}, \pm 6, \pm \frac{12}{2}, \pm 12$$

重複を除去すると、

$$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm \frac{3}{2}, \pm 3, \pm 6, \pm 12$$

これらの値を $f(r)$ に代入して、どれが $f(r) = 0$ を満たすか確認していきます。

3. 因数定理の証明

$f(x)$ を次数 $n$ の多項式とします。ここで、$f(a) = 0$ であることを仮定します。

まず、$f(x)$ を $(x – a)$ で割ることを考えます。Q(x)を商、Rをあまりとすると、
$$f(x) = (x – a)Q(x) + R$$

$f(x)$ を $(x – a)$ で割る際、余りの次数は必ず $(x – a)$ よりも低い次数でなければなりません。したがって、$R$ の次数は 0 以下です。つまり、Rは定数項になります。

仮定から $f(a) = 0$ です。これを上記の式に代入すると、
$$f(a) = (a – a)Q(a) + R = 0 + R =R =0$$
となります。したがって、$R= 0$ であることがわかります。

よって、$f(x) = (x – a)Q(x)$ となり、$(x – a)$ は $f(x)$ の因数であることが示されました。

4. 因数定理の例題

$f(2)$ の計算は次のようになります。

$$\begin{align*} f(2) &= 2(2)^3 – 3(2)^2 – 8(2) + 12 \\ &=  2(8) – 3(4) – 8(2) + 12 \\ &= 16 – 12 – 16 + 12 \\ &=0 \end{align*}$$

因数定理より、$f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 8x + 12$ は $x – 2$ を因数として持つ。

$f(-2)$ の計算は次のようになります。

$$\begin{align*} f(-2) &= 2(-2)^3 – 3(-2)^2 – 8(-2) + 12 \\ &= 2(-8) – 3(4) + 16 + 12 \\ &= -16 – 12 + 16 + 12 \\ &=0 \end{align*}$$

因数定理より、$f(x)$ は $x + 2$ も因数として持ちます。

$f\left(\frac{3}{2}\right)$ の計算は次のようになります。

$$\begin{align*} f\left(\frac{3}{2}\right) &= 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 – 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 – 8\left(\frac{3}{2}\right) + 12 \\ &= 2\left(\frac{27}{8}\right) – 3\left(\frac{9}{4}\right) – 8\left(\frac{3}{2}\right) + 12\\ &= \frac{27}{4} – \frac{27}{4} – 12 + 12 \\ &=0 \end{align*}$$

因数定理より、$f(x)$ は $x – \frac{3}{2}$ も因数として持ちます。

したがって、これらはすべて $f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 8x + 12$ の因数となります。