階乗素数とは？性質、具体例について

はるか

階乗素数って、聞いたことある？

ふゅか

うん、階乗の結果に1を足して素数になるやつでしょ？1! + 1とか2! + 1みたいな♪

はるか

そう。2とか3は階乗素数。けど、4! + 1とか5! + 1は素数じゃない。

ふゅか

そうそう！うまくいくこともあるけど、途中で素数じゃなくなるのよね〜。

1. 階乗素数

例えば、次のような階乗素数があります。

\( 1! + 1 = 1 + 1 = 2 \)（素数）
\( 2! + 1 = 2 + 1 = 3 \)（素数）
\( 3! + 1 = 6 + 1 = 7 \)（素数）

一方で、次のような場合は階乗素数でないです。

\( 4! + 1 = 24 + 1 = 25 \)（素数ではない）
\( 5! + 1 = 120 + 1 = 121 \)（素数ではない）

2. 階乗素数の性質

2.1. 連続した合成数

考慮する数の範囲は、\( n! – n \) から \( n! + n \) までです。この範囲には \( 2n + 1 \) 個の連続した整数が含まれています。

\[ n! – n, \, n! – n + 1, \, \ldots, \, n! – 1, \, n!, \, n! + 1, \, \ldots, \, n! + n \]

この範囲内のすべての数が合成数であることを証明することができたら、 \( 2n + 1 \) 個の連続した整数を示すことができる。\( 1 \leq k \leq n \) の場合、$n!+k$について2つの場合を考えます。

\( k = 1 \) の場合:

問題の条件により、\( n! + 1 \) および \( n! – 1 \) はどちらも合成数です。よって、\( n! + 1 \) と \( n! – 1 \) は合成数です。

\( 2 \leq k \leq n \) の場合:

\( n! \) には \( 2 \leq k \leq n \) のすべての整数kが因数として含まれているため、\( n! \) はそれらの \( k \) によって割り切れる。\( n! \equiv 0 \mod k \) です。$n! + k$ と$n! – k $は、

$$ n! + k \equiv k \mod k \equiv 0 \mod k $$

$$ n! – k \equiv -k \mod k \equiv 0 \mod k $$

\( n! + k \) と \( n! – k \) は \( k \) で割り切れ、かつ \( k \) より大きいため（\( n! \geq n \geq k \)）、どちらも合成数となります。

したがって、

\[ n! – n, \, n! – n + 1, \, \ldots, \, n! – 1, \, n!, \, n! + 1, \, \ldots, \, n! + n \]

はすべて合成数であることがわかったため、\( n! \) の周りに少なくとも \( 2n + 1 \) 個の連続した合成数が存在する。

はるか

\(n! + 1\) と \(n! – 1\) が両方合成数なら、2n + 1個の連続した合成数がある。

ふゅか

それって、n!の周りに合成数が集まってるってこと？不思議だね！

はるか

うん。範囲を \(n! – n\) から \(n! + n\) まで広げると、全部合成数になる。