集合族、添字集合の意味と具体例について

1. 集合族とは

集合族とは、集合の「集まり」を表す集合です。つまり、集合そのものを要素とする集合のことです。

例： \[ \mathcal{F} = \{ A_1, A_2, A_3 \} \] この場合、\(\mathcal{F}\) は集合族であり、各 \(A_i\)（\(i = 1, 2, 3\)）はそれぞれの要素である集合です。

集合族は集合系とも呼ばれます。

はるか

例えば、\(\mathcal{F} = \{ A_1, A_2, A_3 \}\)。この\(\mathcal{F}\)が集合族。\(\{A_1, A_2, A_3\}\)は、それぞれが集合。

2. 添字集合とは

添字集合とは、他の集合（集合族）を区別して管理するための「ラベル」を提供する集合のことです。集合族の各要素に一意の「添字」を割り当てることで、それぞれの集合を識別します。この添字が集まった集合が添字集合です。

例えば、集合族 \(\{ A_1, A_2, A_3 \}\) では、添字として \(1, 2, 3\) が用いられています。この場合、添字集合は \(\{ 1, 2, 3 \}\) です。

はるか

各集合にラベルをつける。番号とかアルファベットとか。それを管理するための集合が添字集合。

2.1. 添字集合と集合族の関係

添字集合と集合族は次のように対応します：

1. 添字集合 \(I\): 集合族の各要素を識別するための「ラベル」を集めた集合。
2. 集合族 \(\{ A_i \mid i \in I \}\): 添字集合 \(I\) を使って構成される集合。

たとえば、以下の例を考えます。

• 添字集合：\(I = \{ 1, 2, 3 \}\)
• 各添字 \(i \in I\) に対応する集合：\(A_1 = \{a, b\}, A_2 = \{c, d\}, A_3 = \{e\}\)

この場合、集合族は次のように表されます

\[ \mathcal{F} = \{ A_i \mid i \in I \} = \{ \{a, b\}, \{c, d\}, \{e\} \} \]

ふゅか

例えば、\(\{1, 2, 3\}\)が添字集合で、それぞれ\(\{a, b\}, \{c, d\}, \{e\}\)に対応してるって感じ？

はるか

そう。それで、\(\mathcal{F} = \{ A_i \mid i \in I \}\)と表現する。