更新:2025/01/15
集合族、添字集合の意味と具体例について


はるか
集合族、知ってる?

ふゅか
集合族って、集合の集まりのことよね?
1. 集合族とは
集合族とは、集合の「集まり」を表す集合です。つまり、集合そのものを要素とする集合のことです。
例: \[ \mathcal{F} = \{ A_1, A_2, A_3 \} \] この場合、\(\mathcal{F}\) は集合族であり、各 \(A_i\)(\(i = 1, 2, 3\))はそれぞれの要素である集合です。
集合族は集合系とも呼ばれます。

はるか
例えば、\(\mathcal{F} = \{ A_1, A_2, A_3 \}\)。この\(\mathcal{F}\)が集合族。\(\{A_1, A_2, A_3\}\)は、それぞれが集合。
2. 添字集合とは
添字集合とは、他の集合(集合族)を区別して管理するための「ラベル」を提供する集合のことです。集合族の各要素に一意の「添字」を割り当てることで、それぞれの集合を識別します。この添字が集まった集合が添字集合です。
例えば、集合族 \(\{ A_1, A_2, A_3 \}\) では、添字として \(1, 2, 3\) が用いられています。この場合、添字集合は \(\{ 1, 2, 3 \}\) です。

はるか
各集合にラベルをつける。番号とかアルファベットとか。それを管理するための集合が添字集合。
2.1. 添字集合と集合族の関係
添字集合と集合族は次のように対応します:
- 添字集合 \(I\): 集合族の各要素を識別するための「ラベル」を集めた集合。
- 集合族 \(\{ A_i \mid i \in I \}\): 添字集合 \(I\) を使って構成される集合。
たとえば、以下の例を考えます。
- 添字集合:\(I = \{ 1, 2, 3 \}\)
- 各添字 \(i \in I\) に対応する集合:\(A_1 = \{a, b\}, A_2 = \{c, d\}, A_3 = \{e\}\)
この場合、集合族は次のように表されます
\[ \mathcal{F} = \{ A_i \mid i \in I \} = \{ \{a, b\}, \{c, d\}, \{e\} \} \]

ふゅか
例えば、\(\{1, 2, 3\}\)が添字集合で、それぞれ\(\{a, b\}, \{c, d\}, \{e\}\)に対応してるって感じ?

はるか
そう。それで、\(\mathcal{F} = \{ A_i \mid i \in I \}\)と表現する。
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