有名な不等式一覧

$a\geqq0,b\geqq0$のとき、相加相乗平均は次のように成り立ちます。

$$\dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}$$

$a_{i}\ (i=1.2.3\cdots\ n)$が$a_{i}>0$を満たすとき、AM-GM不等式は

$$\Large\dfrac{1}{n}\sum \limits ^{n}_{i=1}a_{i}\geq \sqrt[n] {\prod\limits ^{n}_{i=1}a_{i}} $$

となる。

重み付きAM-GM不等式（weighted AM-GM inequality）は、非負実数列 \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) と、その要素に対応する正の重み（係数）\(w_1, w_2, \dots, w_n\) があり、これらの重みの和が

$$w_1 + w_2 + \cdots + w_n = 1$$

であるときに次の不等式が成り立ちます。

\[ \sum_{i=1}^n w_i a_i \geq \prod_{i=1}^n a_i^{w_i} \]

任意の実数 \( a_i \) および \( b_i \) に対して、次のコーシー・シュワルツの不等式が成り立ちます。

\[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \]

Titu’s Lemmaは、コーシー・シュワルツの不等式の特殊な形と見なすことができます。Titu’s Lemmaの形は次の通りです。

\[ \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} \]

凸関数 \( f(x) \) に対して、任意の実数 \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) と非負の重み \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) が以下を満たすとします。

\[ \lambda_i \geq 0, \quad \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 \]

このとき、次のJensenの不等式が成り立ちます

\[ f\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \]

\(f\)を区間\(I\subset \mathbb{R}\)上で定義された凸関数とし、任意の\(x, y, z \in I\)に対して、以下のPopoviciuの不等式が成り立ちます。

\[ f(x) + f(y) + f(z) + 3f\left(\frac{x+y+z}{3}\right) \leq 2f\left(\frac{x+y}{2}\right) + 2f\left(\frac{y+z}{2}\right) + 2f\left(\frac{z+x}{2}\right) \]

凸関数 \( f \) が与えられたとき、非負かつ増加しない数列 \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \) と \( \mathbf{y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \) について、$[\mathbf x] \succeq [\mathbf y]$であるとき、次のkaramataの不等式が成り立ちます。

\[ \sum_{i=1}^n f(x_i) \geq \sum_{i=1}^n f(y_i) \]

もし \(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n\) かつ \(b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n\) ならば、次の並べ替え不等式が成り立つ。

\[ \sum_{i=1}^n a_i b_i \geq \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \geq \sum_{i=1}^n a_i b_{n+1-i} \]

\[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \geq \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} b_i \right)\geq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i b_{n-i+1} \]

\[ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2} \]

シャピロの不等式（Shapiro Inequality）は、逆数を含む和に関する不等式です。任意の実数 \( a_1, a_2, \dots, a_n \) に対して、この不等式は次のように表されます。

\[ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{a_{i+1} + a_{i+2}} \geq \frac{n}{2} \]

ただし、nが12以下の偶数、23以下の奇数のどちからである必要がある。

任意の三角形 \(ABC\) の内角を \(A, B, C\) とすると、以下のAbi-Khuzam（Flanders）の不等式が成り立ちます。

\[ \frac{\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{A B  C} \leq \left( \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \right)^3\]

等号が成立するのは、三角形が正三角形の場合、すなわち \(A = B = C = \frac{\pi}{3}\) のときです。

任意の自然数 \(n\) に対して、実数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) に対して次の三角不等式が成り立つ。

\[ |a_1 + a_2 + \cdots + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n| \]

以下の条件を満たす数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$が存在するととき、

$$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_{n-1} \geq a_n \geq 0$$

$$ b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_{n-1} \geq b_n \geq 0$$

$x_i>0 ,x_i\in\mathbb{R}(i=1 \cdots n)$に対して、$[a_1,a_2,\cdots a_n]\succeq[b_1,b_2,\cdots b_n]$を満たすと以下のMuirheadの不等式が成り立つ。

$$\Large\displaystyle\sum_{\mathrm{sym}}\prod^{n}_{i=1} x_i^{a_i} \geq\displaystyle\sum_{\mathrm{sym}}\prod^{n}_{i=1} x_i^{b_i}$$

2つの数列\( \lbrace a_n \rbrace \) と \( \lbrace b_n \rbrace \) に対して、アーベルの不等式は次のように表されます。

\[ \left| \sum_{k=1}^n a_k b_k \right| \leq A \left( |b_1| + 2|b_n| \right) \]

\(a, b > 0\) であるとき、ヤングの不等式は、以下の形で表されます。

\[ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \]

3つの非負の実数 \( x, y, z \) に対して、次のSchurの不等式が成り立ちます。

\[ x^r(x - y)(x - z) + y^r(y - z)(y - x) + z^r(z - x)(z - y) \geq 0 \]

確率変数 \(X\) の、期待値\(\mu\)、分散 \(\sigma^2\) を持つとします。チェビシェフの不等式は次のように表されます。

\[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]

正の数\( p_1, p_2, \ldots, p_n \) と \( q_1, q_2, \ldots, q_n \)であるとき、次の対数和不等式が成り立つ。

\[ \sum_{i=1}^n p_i \log \frac{p_i}{q_i} \geq \left(\sum_{i=1}^n p_i \right)\log \dfrac{\sum_{i=1}^n p_i}{\sum_{i=1}^n q_i} \]

計量線形空間\( V \) において、\( \{e_k\}_{k=1}^n \) を \( V \) の正規直交系とします。ここで、任意のベクトル \( x \in V \) に対して、次のベッセルの不等式が成り立ちます。

\[ \sum_{k=1}^n |\langle \mathbf x,  \mathbf e_k \rangle|^2 \leq \|\mathbf x\|^2 \]

ジョルダンの不等式は、次のように表されます。

\[ \frac{2}{\pi} \theta \leq \sin \theta \leq \theta \quad \left(0 \leq θ \leq \frac{\pi}{2}\right) \]

任意の実数 \( x \) に対して、整数 \( n \geq 1 \) のとき 以下のベルヌーイの不等式（Bernoulli’s inequality） が成り立ちます。

\[ (1 + x)^n \geq 1 + nx \]

ただし、\( x \geq -1 \) である必要があります。