フーリエ級数展開の定義・フーリエ係数・例題について
1. フーリエ級数展開とは
フーリエ級数展開は、周期関数を正弦波と余弦波（または複素指数関数）の無限和として表現する方法です。
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) \right) \]
ここで、フーリエ係数 \( a_n \) および \( b_n \) は次の式で与えられます。
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) dx \] \[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) dx \]
フーリエ級数展開ができる条件もありますが、ここでは割愛します。実用上、基本的に大丈夫な関数が使用されます。
1.1. 角周波数ωを使ったフーリエ級数展開の表現
フーリエ級数展開を角周波数 \( \omega \) を使って表すこともよく行われます。角周波数 \( \omega \) は次のように定義されます。
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]
ここで、\( T \) は関数の周期です。この定義を使うと、フーリエ級数は次のように書けます。
\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t) \right) \]
この表現では、フーリエ係数 \( a_n \) と \( b_n \) は以下のように計算されます。\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n\omega t) dt \]\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n\omega t) dt \]
1.2. \( b_0 \)がない理由
正弦関数 \( \sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) \) の場合、特に \( n = 0 \) とした場合を考えてみます。
\[ \sin\left(\frac{2\pi \cdot 0 \cdot x}{T}\right) = \sin(0) = 0 \]
このように、\( \sin(0) \) は常に 0 であるため、もし \( b_0 \) を導入すると、その項は必ず 0 になります。
1.3. 周期が2πの場合
周期 \( T = 2\pi \) を持つ関数 \( f(x) \) のフーリエ級数は次の形で表されます。
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]
ここで、フーリエ係数 \( a_n \) および \( b_n \) は次の式で与えられます。\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \]\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \]
2. フーリエ級数展開の例題
2.1. 例題1 区間 \([-π, π]\) で定義された関数 \( f(x) = x \) のフーリエ級数展開
1. \( b_n \)0 の計算
まず、\( a_0 \) を計算します。\( a_0 \) は関数の平均値を表します。
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \, dx \]
積分を計算すると、
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} \right) = 0 \]
したがって、\( a_0 = 0 \) です。
2. \( a_n \) の計算
次に、余弦項の係数 \( a_n \) を計算します。
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \]
これは奇関数と偶関数の積は奇関数であり、区間 \([-π, π]\) における積分は 0 になります。したがって、
\[ a_n = 0 \]
3. \( b_n \) の計算
最後に、正弦項の係数 \( b_n \) を計算します。
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx \]
この積分を部分積分を用いて計算します。
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} \right]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos(nx)}{n} \, dx \]
\( \cos(n\pi) \) の積分は0 となり、残る項は次のようになる。
\[ b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \]
4. フーリエ級数の表現
したがって、関数 \( f(x) = x \) のフーリエ級数展開は次のようになります。
\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \]
2.2. 例題2 区間 \([-π, π]\) で定義された関数 \( f(x) = \sin x \) のフーリエ級数展開
フーリエ係数の計算
1. \( a_0 \) の計算
まず、定数項 \( a_0 \) を計算します。
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx \]
\(\sin(x)\) は奇関数であり、区間 \([-π, π]\) での積分は 0 になります。
\[ a_0 = 0 \]
2. \( a_n \) の計算
次に、余弦項の係数 \( a_n \) を計算します。
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \cos(nx) \, dx \]
ここでも、\( \sin(x) \) と \( \cos(nx) \) の積は奇関数であり、積分の結果は 0 になります。
\[ a_n = 0 \]
3. \( b_n \) の計算
最後に、正弦項の係数 \( b_n \) を計算します。
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \sin(nx) \, dx \]
この積分は、\( n = 1 \) の場合にのみ非ゼロの結果を持ち、それ以外の \( n \) ではゼロになります。
\( n = 1 \) のとき、
\[ b_1 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 \]
\( n \neq 1 \) のとき、
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \sin(nx) \, dx = 0 \]
したがって、関数 \( f(x) = \sin(x) \) のフーリエ級数展開は次のようになります。
\[ f(x) = \sin(x) \]
