周波数と周期の基本関係！f=1/T、T=1/fの理解
1. 周波数と周期について
周波数と周期は、波や振動の基本的な特性を表す重要な物理量です。
1.1. 周波数（Frequency）
- 定義: 1秒間に繰り返される波や振動の回数。
- 記号: \( f \)
- 単位: ヘルツ (Hz)
1.2. 周期（Period）
- 定義: 1回の振動や波の繰り返しにかかる時間。
- 記号: \( T \)
- 単位: 秒 (s)
2. 関係式
\[ f = \frac{1}{T} \]
または、
\[ T = \frac{1}{f} \]
これは、周波数が高いほど周期が短くなり、逆に周波数が低いほど周期が長くなることを意味します。当然ですが、$fT=1$も成り立ちます。
3. 関係式の証明
$t$秒間の間に$n$回振動したとする。
3.1. 周波数の定義
周波数 \( f \) は、振動の回数 \( n \) を時間 \( t \) で割ったものです。 \[ f = \frac{n}{t} \]
3.2. 周期の定義
周期 \( T \) は、振動にかかる時間 \( t \) を振動の回数 \( n \) で割ったものです。 \[ T = \frac{t}{n} \]
3.3. 周波数と周期の積の計算
上記の定義を使って、周波数 \( f \) と周期 \( T \) の積を計算します。 \[ fT = \left( \frac{n}{t} \right) \left( \frac{t}{n} \right) \]
\[ fT = \frac{n}{t} \cdot \frac{t}{n} = \frac{n \cdot t}{t \cdot n} \]
分母と分子で同じ \( n \) と \( t \) がかかっているので、これは次のようになります。 \[ fT = \frac{n \cdot t}{t \cdot n} = 1 \]
これにより、周波数 \( f \) と周期 \( T \) の関係 \( fT = 1 \) が証明されました。
3.4. 例
例えば、周波数が50 Hzの波の場合、周期は以下のように計算されます。
\[ T = \frac{1}{50} = 0.02 \, \text{秒} \]
逆に、周期が0.01秒の波の場合、周波数は以下のように計算されます。
\[ f = \frac{1}{0.01} = 100 \, \text{Hz} \]
4. 単位の確認
4.1. $f=\frac{1}{T}$の単位
周期 \( T \) の単位は秒 (s) です。
\[ [T] = \text{s} \]
関係式 \( f = \frac{1}{T} \) の右辺の単位を確認します。
\[ \left[\frac{1}{T}\right] = \frac{1}{\text{s}} \]
これは周波数 \( f \) の単位である \( \frac{1}{\text{s}} \) (Hz) と一致します。
4.2. $fT=1$の単位
周波数 \( f \) と周期 \( T \) の関係は \( fT = 1 \) です。左辺の単位を確認します。
\[ [fT] = \frac{1}{\text{s}} \times \text{s} \]
秒 (s) がキャンセルされて、
\[ [fT] = 1 \]
したがって、周波数と周期の積は無次元量 (単位なし) となり、1になります。
4.3. $ T = \frac{1}{f}$の単位
関係式 \( T = \frac{1}{f} \) の右辺の単位を確認します。
\[ \left[\frac{1}{f}\right] = \frac{1}{\left[\frac{1}{\text{s}}\right]} \]
これは分数の逆数の計算であり、
\[ \frac{1}{\left(\frac{1}{\text{s}}\right)} = \text{s} \]
これは周期 \( T \) の単位である $s$（秒）と一致します。
