【極限】関数の連続性の意味と例題、確認方法について
1. 連続性とは何か？
関数 \( f(x) \) が点 \( x = a \) で連続であるとは、以下の3つの条件がすべて満たされることを言います。
- 関数値の存在：\( f(a) \) が定義されている。
- 極限値の存在：\( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) \) が存在する。
- 関数値と極限値の一致：\( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)。
これらの条件により、関数の値がその点で連続であることがわかります。
1.1. 直感的な理解
連続性を直感的に説明すると、「グラフを鉛筆を離さずに一筆書きできる状態」と言えます。つまり、途中で飛び跳ねたり、途切れたりしない滑らかな曲線を描くことができる関数です。
2. 連続性を確認する例題
2.1. 例題1
$$ f(x) = \begin{cases} 0 & (x = 0) \\ x^2 & (x \neq 0) \end{cases} $$
まず、\( f(0) \) の値を確認します。
\[ f(0) = 0 \]
次に、\( x \to 0 \) のときの \( f(x) \) の極限を考えます。\( x \neq 0 \) のとき、\( f(x) = x^2 \) なので、
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \]
\( f(0) = 0 \) であり、\( \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \) なので、
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \]
したがって、関数 \( f(x) \) は \( x = 0 \) で連続です。
2.2. 例題2
$$ f(x) = \begin{cases} 1 & (x = 0) \\ 0 & (x \neq 0) \end{cases} $$
まず、\( f(0) \) の値を確認します。
\[ f(0) = 1 \]
次に、\( x \to 0 \) のときの \( f(x) \) の極限を考えます。\( x \neq 0 \) のとき、\( f(x) = 0 \) なので、
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \]
ここで、\( f(0) = 1 \) であり、\( \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \) なので、
\[ \lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0) \]
この条件を満たしていないため、関数 \( f(x) \) は \( x = 0 \) で連続ではありません。
