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微分積分学
更新:2024/11/08

関数列とは？6通りの具体例とグラフについて

ふゅか
ふゅか
関数列って、関数が順番に並んだものなんだね！つまり、数列みたいなものだけど、数の代わりに関数を使ってる感じ？
はるか
はるか
そう。数列が数の列なら、関数列は関数の列。簡単。
目次

1. 関数列とは

まず、数列について考えてみましょう。数列とは、数が順番に並んだものです。同様に、関数列は関数が順番に並んだものを指します。形式的には、ある区間Dにおける関数列 $\{ f_n(x) \}$ は、自然数 $n$ に対して定義された関数 $f_n(x)$ の集まりです。ここで、各 $f_n(x)$ は同じ定義域Dにおける関数です。

2. 具体例1：べき関数の列

ふゅか
ふゅか
なるほど！じゃあ例えば、べき関数の列とかってどんな感じになるの？
はるか
はるか
例えば、$f_n(x) = x^n$。$n$ が変わると形も変わる。$n=1$ なら直線、$n=2$ なら放物線。

2.1. 関数列

$$ f_n(x) = x^n $$

2.2. $n$ の値ごとの変化

この関数列では、$x$ の値によって関数の形が変わります。$x$ の範囲は $0 \leq x \leq 1$ とします。

  • $n = 1$ のとき：$f_1(x) = x^1 = x$。これは原点を通る直線です。
  • $n = 2$ のとき：$f_2(x) = x^2$。放物線になり、$x$ が $0$ に近いときは値が小さく、$x$ が $1$ に近いときは値が大きくなります。
  • $n = 3$ のとき：$f_3(x) = x^3$。原点を通る3次関数になります。

2.3. グラフのイメージ

3. 具体例2：三角関数を用いた関数列

ふゅか
ふゅか
三角関数を使った関数列も面白いね！$\sin(nx)$ みたいに $n$ が増えると、波がどんどん細かくなるんだね。
はるか
はるか
そう。$n=1$ のときは普通のサイン波、$n=2$ で波が倍になる。

3.1. 関数列

$$ f_n(x) = \sin(n x) $$

3.2. $n$ の値ごとの変化

ここでは、$x$ の範囲を $0 \leq x \leq 2\pi$ とします。

  • $n = 1$ のとき：$f_1(x) = \sin(x)$。通常のサイン波です。
  • $n = 2$ のとき：$f_2(x) = \sin(2x)$。周期が半分になり、波が倍になります。
  • $n = 3$ のとき：$f_3(x) = \sin(3x)$。さらに波の数が倍に増えます。

3.3. グラフのイメージ

 

4. 具体例3：指数関数を用いた関数列

ふゅか
ふゅか
次は指数関数の列だね！$f_n(x) = e^{-nx}$ って、どんどん速く減衰するのがわかるね。
はるか
はるか
うん、$n$ が大きくなるほど減衰が速くなる。$n=1$ ならゆるやか、$n=3$ ならすぐにゼロに近づく。
ふゅか
ふゅか
確かに、グラフで見ると違いがはっきりわかるね！

4.1. 関数列

$$ f_n(x) = e^{-n x} $$

4.2. $n$ の値ごとの変化

$x \geq 0$ の範囲で考えます。

  • $n = 1$ のとき：$f_1(x) = e^{-x}$。ゆるやかに減衰します。
  • $n = 2$ のとき：$f_2(x) = e^{-2x}$。減衰が速くなります。
  • $n = 3$ のとき：$f_3(x) = e^{-3x}$。さらに速く減衰します。

4.3. グラフのイメージ

5. 具体例4：一次関数の関数列

5.1. 関数列

$$ f_n(x) = \begin{cases} n x & (0 \leq x \leq \frac{1}{n}) \\ 1 & \left( \frac{1}{n} < x \leq 1 \right) \end{cases} $$

5.2. $n$ の値ごとの変化

  • $n = 1$ のとき：$0 \leq x \leq 1$ で $f_1(x) = x$。直線です。
  • $n = 2$ のとき：$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ で $f_2(x) = 2x$。$x = \frac{1}{2}$ まで直線で増加し、その後は $1$。
  • $n = 3$ のとき：$0 \leq x \leq \frac{1}{3}$ で $f_3(x) = 3x$。$x = \frac{1}{3}$ まで増加。

5.3. グラフのイメージ

6. 具体例5：符号を持つ関数列

6.1. 関数列

$$ f_n(x) = (-1)^n \cdot x $$

6.2. $n$ の値ごとの変化

  • $n = 1$ のとき：$f_1(x) = -x$。原点を通る右下がりの直線。
  • $n = 2$ のとき：$f_2(x) = x$。原点を通る右上がりの直線。
  • $n = 3$ のとき：$f_3(x) = -x$。再び右下がり。

6.3. グラフのイメージ

はるか
はるか
グラフが重なるから、太さを少し変えた。

7. 具体例6：階段関数の列

7.1. 関数列

$$ f_n(x) = \left\lfloor n x \right\rfloor $$

（$\left\lfloor \cdot \right\rfloor$ は床関数で、与えられた数以下の最大の整数を返します。）

7.2. $n$ の値ごとの変化

$x$ の範囲は $0 \leq x \leq 1$ とします。

  • $n = 1$ のとき：$f_1(x) = \left\lfloor x \right\rfloor$。$x$ が $0$ から $1$ 未満で $0$、$x = 1$ で $1$。
  • $n = 2$ のとき：$x$ が $0$ から $0.5$ 未満で $0$、$0.5$ から $1$ 未満で $1$。
  • $n = 3$ のとき：$x$ が $0$ から約 $0.333$ 未満で $0$、次の区間で $1$、さらに次で $2$。

7.3. グラフのイメージ

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