ガンマ関数の４つの基本的な性質！階乗と特殊関数との関係

はるか

ガンマ関数って知ってる？

ふゅか

もちろん！ガンマ関数は、数学や統計学でよく使われる特殊関数の一つよ。

1. ガンマ関数とは？

2. ガンマ関数の性質

3. ガンマ関数の性質の証明

はるか

それぞれの性質はどうやって証明するの？

ふゅか

じゃあ、一つずつ見ていきましょう！

3.1. \(\Gamma(p+1) = p \cdot \Gamma(p)\)

部分積分を使用します。

\[ \Gamma(p+1) = \int_0^\infty x^p e^{-x} \, dx \]

ここで、 \( u = x^p \) 、 \( dv = e^{-x} \, dx \) とします。 \( du = p x^{p-1} \, dx \) であり、 \( v = -e^{-x} \) となります。

\[ \Gamma(p+1) = \left[ -x^p e^{-x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty p x^{p-1} e^{-x} \, dx \]

\(\left[ -x^p e^{-x} \right]_0^\infty = 0 \) となります。これは \( e^{-x} \) が \( x^p \) よりも速く減衰するため、 \( x \to \infty \) のときに0に収束し、 \( x = 0 \) のときも0だからです。

したがって、

\[ \Gamma(p+1) = p \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x} \, dx = p \cdot \Gamma(p) \]

3.2. \(\Gamma(1) = 1\)

定義に \( p = 1 \) を代入します。

\[ \Gamma(1) = \int_0^\infty x^{1-1} e^{-x} \, dx = \int_0^\infty e^{-x} \, dx \]

この積分を計算します。

\[ \int_0^\infty e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^\infty = 0 – (-1) = 1 \]

3.3. \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\)

置換 \( x = t^2 \) を使用し、 \( dx = 2t \, dt \) とします。

\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^\infty x^{\frac{1}{2}-1} e^{-x} \, dx = \int_0^\infty x^{-\frac{1}{2}} e^{-x} \, dx \]

\[ = \int_0^\infty (t^2)^{-\frac{1}{2}} e^{-t^2} 2t \, dt = \int_0^\infty t^{-1} e^{-t^2} 2t \, dt = 2 \int_0^\infty e^{-t^2} \, dt \]

したがって、ガウス積分 \( \displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi} \) より、正の半分のみを考えると、

\[ \int_0^\infty e^{-t^2} \, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]

したがって、

\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi} \]

3.4. 自然数 \( n \) に対して　\(\Gamma(n+1) = n!\)

これは性質\(\Gamma(p+1) = p \cdot \Gamma(p)\)を繰り返し適用することで、成り立つことがわかります。

\[ \Gamma(n+1) = n \cdot \Gamma(n) = n \cdot (n-1) \cdot \Gamma(n-1) = \ldots = n! \cdot \Gamma(1) \]

\(\Gamma(1) = 1\) を使用すると、

\[ \Gamma(n+1) = n! \]