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ガンマ関数とは？
$$\Gamma(p) = \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x} \, dx （ p > 0 ）$$
ガンマ関数の性質
- \(\Gamma(p+1) = p \cdot \Gamma(p)\)
- \(\Gamma(1) = 1\)
- \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\)
- \(\Gamma(n+1) = n!\)
ガンマ関数の性質の証明
\(\Gamma(p+1) = p \cdot \Gamma(p)\)
部分積分を使用します。
\[ \Gamma(p+1) = \int_0^\infty x^p e^{-x} \, dx \]
ここで、 \( u = x^p \) 、 \( dv = e^{-x} \, dx \) とします。 \( du = p x^{p-1} \, dx \) であり、 \( v = -e^{-x} \) となります。
\[ \Gamma(p+1) = \left[ -x^p e^{-x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty p x^{p-1} e^{-x} \, dx \]
境界項 \(\left[ -x^p e^{-x} \right]_0^\infty = 0 \) となります。これは \( e^{-x} \) が \( x^p \) よりも速く減衰するため、 \( x \to \infty \) のときに0に収束し、 \( x = 0 \) のときも0だからです。
したがって、
\[ \Gamma(p+1) = p \int_0^\infty x^{p-1} e^{-x} \, dx = p \cdot \Gamma(p) \]
\(\Gamma(1) = 1\)
定義に \( p = 1 \) を代入します。
\[ \Gamma(1) = \int_0^\infty x^{1-1} e^{-x} \, dx = \int_0^\infty e^{-x} \, dx \]
この積分を計算します。
\[ \int_0^\infty e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^\infty = 0 - (-1) = 1 \]
\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\)
置換 \( x = t^2 \) を使用し、 \( dx = 2t \, dt \) とします。
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^\infty x^{\frac{1}{2}-1} e^{-x} \, dx = \int_0^\infty x^{-\frac{1}{2}} e^{-x} \, dx \]
\[ = \int_0^\infty (t^2)^{-\frac{1}{2}} e^{-t^2} 2t \, dt = \int_0^\infty t^{-1} e^{-t^2} 2t \, dt = 2 \int_0^\infty e^{-t^2} \, dt \]
したがって \( \int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi} \) より、正の半分のみを考えると、
\[ \int_0^\infty e^{-t^2} \, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]
したがって、
\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi} \]
自然数 \( n \) に対して \(\Gamma(n+1) = n!\)
これは性質\(\Gamma(p+1) = p \cdot \Gamma(p)\)を繰り返し適用することで、成り立つことがわかります。
\[ \Gamma(n+1) = n \cdot \Gamma(n) = n \cdot (n-1) \cdot \Gamma(n-1) = \ldots = n! \cdot \Gamma(1) \]
\(\Gamma(1) = 1\) を使用すると、
\[ \Gamma(n+1) = n! \]