ガウス積分の計算方法・公式・定義・性質について
1. ガウス積分とは
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} \]
1.1. ガウス積分の証明
定積分の計算結果を$I$と置きます。
\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \]
次のような重積分を考えます。
\[ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy \]
$$= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^2} \, dx \, dy$$
この積分は、2次元極座標に変換することで計算できます。
$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$と置くと、次のように書けます。
\[ I^2 = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr \]
$$=2\pi\left[\frac{-e^{-r^2}}{2}\right]_{0}^{\infty} = \pi$$
よって、$I^2=\pi$となるため、
$$I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx =\sqrt{\pi}$$
2. ガウス積分の拡張
2.1. 一般化されたガウス積分
\( x = \frac{u}{\sqrt{a}} \) と置いて、置換積分をします。
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \, dx = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} \, du = \frac{1}{\sqrt{a}} \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \]
2.2. 積分範囲を半分にした場合
$f(x)=e^{-ax^2}$は偶関数であるため、
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \, dx = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} \, dx \]
したがって、
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} \, dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \]
2.3. ガウス積分に項が加わった場合
この積分を計算するには、まず式を平方完成します。
\[ -ax^2 + bx = -a \left( x^2 – \frac{b}{a}x \right) = -a \left( \left(x – \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{b^2}{4a^2} \right) = -a\left( x – \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{b^2}{4a} \]
したがって、積分は次のように書き換えられます。
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2 + bx} \, dx = e^{\frac{b^2}{4a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\left( x – \frac{b}{2a} \right)^2} \, dx \]
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$を用いて、
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2 + bx} \, dx = e^{\frac{b^2}{4a}} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \]
2.4. 多次元ガウス積分
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \dots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\mathbf{x}^T A \mathbf{x}} \, d^n\mathbf{x} = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} \quad (\text{ただし } A \text{ は正定値対称行列}) \]ここで、 \(\mathbf{x}\) は \( n \) 次元ベクトル、 \( A \) は \( n \times n \) 行列です。
まず、行列 \( A \) が正定値対称行列であるため、行列 \( A \) は直交行列で対角化できることを利用します。直交行列を$U$と置いて、\( \mathbf{x} = U \mathbf{y} \)とします。このとき、積分は次のように変形できます。
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \dots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\mathbf{x}^T A \mathbf{x}} \, d^n\mathbf{x} = \int_{-\infty}^{\infty} \dots \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\mathbf{y}^T \Lambda \mathbf{y}} \, d^n\mathbf{y} \]
対角行列 \( \Lambda \) の各対角成分を \( \lambda_i \) とすると、
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\lambda_i y_i^2} \, dy_i = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_i}} \]
したがって、全体の積分は次のようになります。
\[ \prod_{i=1}^n \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_i}} = \sqrt{\frac{\pi^n}{\prod_{i=1}^n \lambda_i}} = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} \]
ここで、固有値の積が行列式になることを用いました。
