幾何平均の意味と具体例について

$はるか$

はるか

幾何平均….かけ算した数値の n 乗根で求める。

$ふゅか$

ふゅか

そうそう！比率の成長とか、増加率を考えるときにつ分かれるのよね！

1. 幾何平均（Geometric Mean）とは？

幾何平均とは、ある一連の数値を「かけ合わせた積の $ n $ 乗根」を用いて求められる平均値のことです。

例えば、$ n $ 個の正の数値 $ a_1, a_2, \dots, a_n $ があるとします。

このとき、幾何平均 $ G $ は以下の式で定義されます。

\[ G = \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n} = (a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n)^{1/n} \]

ある投資商品に 3 年間投資したとします。それぞれの年の利回り（資産が増える割合）が以下の通りだったとしましょう。

ここで「利回り」を「資産が何倍になったか」に変換すると、各年の「増加倍率」は以下のようになります。

この 3 つの増加倍率の幾何平均は、

\[ G = \sqrt[3]{1.10 \times 1.20 \times 1.05} = \sqrt[3]{1.386} \approx 1.0815 \]

データとして 2, 8, 100 という 3 つの値がある場合、算術平均（普通の平均）は

\[ \frac{2 + 8 + 100}{3} = \frac{110}{3} \approx 36.67 \]

となり、100 によって平均が大きく押し上げられます。

一方、幾何平均は

\[ \sqrt[3]{2 \times 8 \times 100} = \sqrt[3]{1600} \approx 11.7 \]