三角関数の合成について！sinとconの合成方法について

ふゅか

今日は三角関数の合成について話そうよ！

はるか

うん、三角関数の合成はよく出てくる。

1. 三角関数の合成

1.1. ポイント

三角関数の合成ポイントは、加法定理を逆から計算することでできるということです。

これさえ理解していれば、

cosの合成が出てきても対応ができないという事態は起きません。

はるか

公式を使うときは、加法定理を逆から使うって覚えておけばOK。

ふゅか

加法定理の逆を使うってことを忘れなければ、cosの合成が出てきても対応できるもんね♪

1.2. sinの合成

$a\sin\theta+b\cos\theta$をsinで合成すると、

$a\sin\theta+b\cos\theta$

$=\sqrt{a^2+b^2} \left( \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta +\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta \right)$

$\sin \alpha= \displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $ 、 $\cos\alpha=\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$とおくと、

$=\sqrt{a^2+b^2} \left( \cos\alpha \sin\theta +\sin\alpha \cos\theta \right)$

$=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

となる。

1.3. cosの合成

$a\sin\theta+b\cos\theta$をcosで合成すると、

$a\sin\theta+b\cos\theta$

$=\sqrt{a^2+b^2} \left( \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta +\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta \right)$

$\sin \beta= \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ 、 $\cos\beta=\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$とおくと、

$=\sqrt{a^2+b^2} \left( \sin\beta \sin\theta +\cos\beta \cos\theta \right)$

$=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta)$

となる。

2. 合成の練習問題

ふゅか

最後に練習問題だね！$\sin\theta+\cos\theta$を2通りで合成してみよう！まずはsinで合成してみると…？

2.1. sinで合成

$\sin\theta+\cos\theta$

$=\sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\right)$

$=\sqrt{2}\left(\cos\displaystyle\frac{\pi}{4}\sin\theta+\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\cos\theta\right)$

$=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$

2.2. cosで合成

$\sin\theta+\cos\theta$

$=\sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\right)$

$=\sqrt{2}\left(\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\sin\theta+\cos\displaystyle\frac{\pi}{4}\cos\theta\right)$

$=\sqrt{2}\cos\left(\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)$