更新:2024/10/22

勾配(gradient)について!意味とディープラーニングへの応用について

$はるか$

はるか

今日は勾配について話そう。

$ふゅか$

ふゅか

そうね！勾配はベクトル解析やディープラーニングでよく使われる重要な概念よ。楽しみだね♪

1. 勾配とは
1.1. 勾配の特徴
1.2. 勾配の計算の具体例
2. 勾配を可視化したグラフ
2.1. 可視化したグラフ1
2.2. 可視化したグラフ2

1. 勾配とは

勾配は、多変数関数に対する各変数の偏微分を成分とするベクトルです。具体的には、スカラー値関数 $ f $ の勾配（gradient）は次のように定義されます。

\[ \mathrm{grad} f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \]

ここで、$ f $ は $ n $ 個の変数 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ を持つ多変数関数です。

1.1. 勾配の特徴

勾配の主な特徴は次の通りです。

方向：勾配ベクトルは、関数 $ f $ の値が最も急速に増加する方向を示します。逆に、マイナスの勾配ベクトルは、関数の値が最も急速に減少する方向を示します。
大きさ：勾配ベクトルの大きさ（ノルム）は、その方向に沿った増加の速度を示します。ノルムが大きいほど、関数の値はその方向に急速に変化します。

1.2. 勾配の計算の具体例

$ふゅか$

ふゅか

実際の計算例を見てみよう！例えば、2変数関数 $f(x,y)=x^2+y$ の勾配はどうなるのかな？

$はるか$

はるか

偏微分を計算する。

2変数関数 $ f(x,y) = x^2 + y $ の勾配は、関数の各変数に関する偏微分を計算することで求められます。勾配ベクトルは次のように定義されます。

\[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

この関数について偏微分を計算します。

$ x $ に関する偏微分： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y) = 2x \]
$ y $ に関する偏微分： \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y) = 1 \]

したがって、関数 $ f(x,y) = x^2 + y $ の勾配ベクトルは次のようになります。

\[ \nabla f(x,y) = (2x, 1) \]