更新:2024/07/25

勾配法について！関数の最小値をpythonで求める

$はるか$

はるか

勾配法は、損失関数の最適化で使われる方法の一つ。

$ふゅか$

ふゅか

そうね！関数の最小値も見つけることができる！

1. 勾配法の手順
2. 勾配法を用いて最小値を求める
2.1. 勾配の計算
2.2. 勾配法のpythonプログラム
2.3. 学習率を0.001にしたとき
2.4. 学習率を0.1にしたとき
2.5. 学習率を0.5にしたとき

1. 勾配法の手順

勾配法を用いて、関数の最小値を見つけるための手順を示します。

初期値 $(x_0, y_0)$ を設定します。
学習率 $\alpha$ を設定します。
以下の更新式を用いて、変数を更新します。2変数関数の場合は次のようになります。
\[ x_{n+1} = x_n - \alpha \frac{\partial f}{\partial x} (x_n, y_n) \]\[ y_{n+1} = y_n - \alpha \frac{\partial f}{\partial y} (x_n, y_n) \]

$ふゅか$

ふゅか

まずは初期値を設定するよね。そして、学習率を決めるの。これで、どれくらいの大きさで次のステップに進むかが決まるんだ。

$はるか$

はるか

更新式で、各地点における、関数の値が最も急速に減少する方向について徐々に移動。

2. 勾配法を用いて最小値を求める

$(1,1)$から$z=x^2+y^4$の最小値を勾配法で求めます。

2.1. 勾配の計算

関数 $ f(x, y) = x^2 + y^4 $ の最小値を勾配法で求めるために、まず勾配を計算します。勾配とは、各変数に関する偏微分をベクトルにしたものです。以下にその手順を示します。

\[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

各偏微分を計算します。
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \]
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 \]

したがって、勾配は以下のようになります。
\[ \nabla f(x, y) = (2x, 4y^3) \]

この勾配をもとにプログラムを実行すると、関数 $ f(x, y) = x^2 + y^4 $ の最小値を求めることができます。繰り返し回数や学習率を調整することで、より正確な結果を得ることができます。この関数の最小値は $(0, 0)$ であり、その値は 0 です。

2.2. 勾配法のpythonプログラム

$ふゅか$

ふゅか

Pythonを使って実際に勾配法を実装してみよう！初期値や学習率を設定して、変数を更新するプログラムを書くんだ。

$はるか$

はるか

プログラムの実行結果を確認。

import matplotlib.pyplot as plt

def gradient_descent(initial_x, initial_y, learning_rate, num_iterations):
    x, y = initial_x, initial_y
    path_x, path_y = [x], [y]
    for _ in range(num_iterations):
        grad_x = 2 * x
        grad_y = 4 * y ** 3
        x = x - learning_rate * grad_x
        y = y - learning_rate * grad_y
        path_x.append(x)
        path_y.append(y)
    return x, y, path_x, path_y

initial_x, initial_y = 1, 1
learning_rate = 0.001
num_iterations = 1000

min_x, min_y, path_x, path_y = gradient_descent(initial_x, initial_y, learning_rate, num_iterations)
min_value = min_x ** 2 + min_y ** 4

print(f"最小値の座標: ({min_x}, {min_y})")
print(f"最小値: {min_value}")

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(path_x, path_y, 'bo-', markersize=3, linewidth=1)
plt.scatter([initial_x], [initial_y], color='red', label='Initial Point')
plt.scatter([min_x], [min_y], color='green', label='Minimum Point')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Gradient Descent Path')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

$はるか$

はるか

学習率を変えることで、収束のスピードや精度が変わる。

$ふゅか$

ふゅか

学習率を変えて確認してみよう！