更新:2024/12/22
群の基本:まずは3つの定義を抑えましょう

目次
1. 群とは?
集合$G$と演算$*$について以下の3つの条件を満たした$(G,*)$を群といいます。
1.1. 単位元eの存在
集合$G$の演算$*$に関して特別な要素が存在し、それを「単位元e」と呼びます。
単位元eは任意の$g \in G$に対して、$e * g = g * e = g$が成り立つ必要があります。
1.2. 演算*で逆元が存在する
集合$G$の任意の要素$g$に対して、$g$の「逆元」と呼ばれる要素が集合内に存在します。
元の要素と組み合わせると単位元$e$を生成する要素です。
つまり、任意の$g \in G$に対して、ある要素h∈Gが存在し、$g * h = h * g = e$が成り立つ必要があります。
1.3. 演算$*$で結合法則が成り立つ
任意の$a, b, c \in G$に対して、$(a * b) * c = a * (b * c)$が常に成り立つ必要があります。
2. 2の剰余類で確認する
$Z/2Z$を$2$で割った余りの剰余類の群であるとします。
$Z/2Z=\lbrace 0,1 \rbrace$
$(Z/2Z,+)$について群の条件を満たすか確認してみましょう。
2.1. 単位元の存在
群$Z/2Z$における演算は加法によって定義されます。
この群における単位元は$0$です。
$0+1=1$
$0+0=0$
が成り立つからです。
2.2. 逆元の存在
$Z/2Z$の各元に対して逆元が存在します。
1の逆元は1(1+1=0)
0の逆元は0(0+0=0)
であり、すべての要素に対して逆元が存在します。
2.3. 結合法則
加法は結合法則を満たします。
任意の$a, b, c \in Z/2Z$に対して、$(a + b) + c = a + (b + c)$が成り立ちます。(足し算なので簡単に確認できる)
以上のことから、$Z/2Z$が群であることがわかります。
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