群の基本：まずは３つの定義を抑えましょう

1. 群とは？

集合$G$と演算$*$について以下の３つの条件を満たした$(G,*)$を群といいます。

1.1. 単位元eの存在

集合$G$の演算$*$に関して特別な要素が存在し、それを「単位元e」と呼びます。
単位元eは任意の$g \in G$に対して、$e * g = g * e = g$が成り立つ必要があります。

1.2. 演算*で逆元が存在する

集合$G$の任意の要素$g$に対して、$g$の「逆元」と呼ばれる要素が集合内に存在します。
元の要素と組み合わせると単位元$e$を生成する要素です。
つまり、任意の$g \in G$に対して、ある要素h∈Gが存在し、$g * h = h * g = e$が成り立つ必要があります。

1.3. 演算$*$で結合法則が成り立つ

任意の$a, b, c \in G$に対して、$(a * b) * c = a * (b * c)$が常に成り立つ必要があります。

2. ２の剰余類で確認する

$Z/2Z$を$2$で割った余りの剰余類の群であるとします。

$Z/2Z=\lbrace 0,1 \rbrace$

$(Z/2Z,+)$について群の条件を満たすか確認してみましょう。

2.1. 単位元の存在

群$Z/2Z$における演算は加法によって定義されます。
この群における単位元は$0$です。

$0+1=1$

$0+0=0$

が成り立つからです。

2.2. 逆元の存在

$Z/2Z$の各元に対して逆元が存在します。

1の逆元は1(1+1=0)
0の逆元は0(0+0=0)

であり、すべての要素に対して逆元が存在します。

2.3. 結合法則

加法は結合法則を満たします。

任意の$a, b, c \in Z/2Z$に対して、$(a + b) + c = a + (b + c)$が成り立ちます。（足し算なので簡単に確認できる）

以上のことから、$Z/2Z$が群であることがわかります。