更新:2024/11/24

半角の公式とは？2倍角の公式を利用した証明

$ふゅか$

ふゅか

今日は半角の公式について話すわよ！三角関数をより簡単な形に変形できる便利な公式なんだから♪

$はるか$

はるか

特に積分とかでよく使う。

1. 半角の公式
2. 半角の公式の証明
2.1. 証明 1: $\sin \frac{\theta}{2}$
2.2. 証明 2: $\cos \frac{\theta}{2}$
2.3. 証明 3: $\tan \frac{\theta}{2}$
3. 例題

1. 半角の公式

半角の公式（または半角公式）は、三角関数の和や差の形を変形して、より単純な式にするために使われる公式です。

\[ \begin{align*} \sin^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 – \cos \theta}{2} \\ \cos^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 + \cos \theta}{2} \\ \tan^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 – \cos \theta}{1 + \cos \theta} \end{align*} \]

2. 半角の公式の証明

$はるか$

はるか

半角の公式だけど、どうしてこうなるか覚えてる？

$ふゅか$

ふゅか

もちろん！2倍角の公式から導けるのよ。

2.1. 証明 1: $\sin \frac{\theta}{2}$

まず、2倍角の公式を使います

\[ \cos 2\alpha = 1 – 2\sin^2 \alpha \]

ここで、$\theta = 2\alpha$ とすると、

\[ \cos \theta = 1 – 2\sin^2 \frac{\theta}{2} \]

この式を変形して、$\sin \frac{\theta}{2}$ を求めます。

$$\begin{align*} 2\sin^2 \frac{\theta}{2} &= 1 – \cos \theta \\ \sin^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 – \cos \theta}{2} \end{align*}$$

2.2. 証明 2: $\cos \frac{\theta}{2}$

同様に、2倍角の公式より、

\[ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha – 1 \]

ここで、$\theta = 2\alpha$ とすると、

\[ \cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} – 1 \]

この式を変形して、$\cos \frac{\theta}{2}$ を求めます。

$$\begin{align*} 2\cos^2 \frac{\theta}{2} &= 1 + \cos \theta \\ \cos^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 + \cos \theta}{2} \end{align*}$$

2.3. 証明 3: $\tan \frac{\theta}{2}$

$ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}$より、ここで、先ほどの半角の公式 $\sin \frac{\theta}{2}$ と $\cos \frac{\theta}{2}$ を利用して、

$$\begin{align*} \tan^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{\frac{1 – \cos \theta}{2}}{\frac{1 + \cos \theta}{2}} \\ \tan^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 – \cos \theta}{1 + \cos \theta} \end{align*} $$