双曲線関数の逆関数の微分
1. 双曲線関数とは
$\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$
$\tanh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
2. 双曲線関数の逆関数の微分
$\begin{align*} \frac{d}{dx} \sinh^{-1} x & = \frac{1}{ \sqrt{x^2 + 1} } \\ \frac{d}{dx} \cosh^{-1} x & = \frac{1}{ \sqrt{x^2 - 1} } \\ \frac{d}{dx} \tanh^{-1} x & = \frac{1}{1-x^2} \end{align*}$
2.1. 1. \(\sinh^{-1} x\) の微分
\(y=\sinh^{-1} x\) のとき \(x = \sinh y\) となるため、$\dfrac{dx}{dy}$を求めると、
$\dfrac{dx}{dy}=\cosh y$
ここで、\(\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + x^2}\) となる。よって、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$より
\[
\left(\sinh^{-1} x\right)’ = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
\]
2.2. 2. \(\cosh^{-1} x\) の微分
\(y=\cosh^{-1} x\) のとき \(x = \cosh y\) となるため、$\dfrac{dx}{dy}$を求めると、
$\dfrac{dx}{dy}=\sinh y$
ここで、\(\sinh y = \sqrt{ \cosh^2 y-1} = \sqrt{x^2 - 1}\) となる。よって、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$より、
\[ \left(\cosh^{-1} x\right)’ = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \]
2.3. 3. \(\tanh^{-1} x\) の微分
\(y=\tanh^{-1} x\) のとき \(x = \tanh y\) となるため、$\dfrac{dx}{dy}$を求めると、
$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\cosh^2 y}$
ここで、\(\dfrac{1}{\cosh^2 y} = 1-\tanh^2 x = 1 - x^2 \) となる。よって、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$より、
\[ \left(\tanh^{-1} x\right)’ = \frac{1}{1 - x^2} \]
これらの計算によって、逆関数の微分を求めることができます。
しかし、双曲線関数の逆関数を求めてから微分しても求めることができます。
3. 双曲線関数の逆関数
$\sinh^{-1} x=\log(x+\sqrt{x^2+1})$
$\cosh^{-1} x=\log(x+\sqrt{x^2-1})$ $(x>1)$
$\tanh^{-1} x=\displaystyle\frac{1}{2} \log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ $(-1<x<1)$
4. 双曲線関数の逆関数の微分
4.1. 1. \( \sinh^{-1} x \) の微分
\( \sinh^{-1} x = \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) を微分するために、合成関数の微分法を使用します。
\[ \frac{d}{dx} \sinh^{-1} x = \frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \]
この内部関数 \(u = x + \sqrt{x^2 + 1}\) を\(x\)について微分します。
\[ \frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]
よって、\(u\)の逆数を取ります。
\[ \frac{d}{dx} \log u = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \]
ここで、分母と分子に \(\sqrt{x^2 + 1}\) をかけると、分子は \(\sqrt{x^2 + 1} + x\) となり、分母と等しくなります。
\[ \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1} \cdot (x + \sqrt{x^2 + 1})} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \]
4.2. 2. \( \cosh^{-1} x \) の微分
\( \cosh^{-1} x = \log(x + \sqrt{x^2 - 1}) \) を微分します。
\[ \frac{d}{dx} \cosh^{-1} x = \frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{x^2 - 1}) \]
内部関数 \(u = x + \sqrt{x^2 - 1}\) を微分します。
\[ \frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \]
\(u\)の逆数を取ります。
\[ \frac{d}{dx} \log u = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \]
分母と分子に \(\sqrt{x^2 - 1}\) をかけると、分子は \(\sqrt{x^2 - 1} + x\) となり、分母と等しくなります。
\[ \frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1} \cdot (x + \sqrt{x^2 - 1})} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \]
4.3. 3. \( \tanh^{-1} x \) の微分
\( \tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \) を微分します。
\[ \frac{d}{dx} \tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} \log\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \]
内部関数 \(u = \frac{1+x}{1-x}\) を微分します。
\[ \frac{du}{dx} = \frac{(1)(1-x) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x+1}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2} \]
\(u\)の逆数を取ります。
\[\frac{d}{dx} \log u = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{2(1-x)}{(1+x)} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x^2}\]
