含意の具体例・真理値表・論理式・例題について

1. 含意とは

1.1. 真理値表

含意 \(P \rightarrow Q\) の真理値表は次のようになります。

この最後のケース（前提 \(P\) が偽の場合、結論 \(Q\) の真偽に関わらず含意が真であること）が直感的に理解しにくいかもしれません。

2. 日常に当てはめる

含意 \(P \rightarrow Q\) を電子レンジに例えて考えてみましょう。

• P: 「電子レンジのスイッチを押す」
• Q: 「電子レンジが動作する」

含意 \(P \rightarrow Q\) は、「電子レンジのスイッチを押せば、電子レンジが動作する」という命題です。

2.1. P が真で、Q も真の場合

• P: スイッチを押した。
• Q: 電子レンジが動作した。

スイッチを押したら電子レンジが動作するので、この含意は真です。

2.2. P が真で、Q が偽の場合

• P: スイッチを押した。
• Q: 電子レンジが動作しなかった。

スイッチを押したのに電子レンジが動作しないなら、電子レンジが壊れているか、電源が入っていないかもしれません。この場合、含意は偽です。

2.3. P が偽で、Q が真の場合

• P: スイッチを押さなかった。
• Q: 電子レンジが動作した。

スイッチを押さなかったのに電子レンジが動作したなら、それは例えばタイマーで自動的に動作したなど、別の要因があるかもしれません。「スイッチを押していない」が前提なので、結果に関係なく命題は真です。

2.4. P が偽で、Q も偽の場合

• P: スイッチを押さなかった。
• Q: 電子レンジが動作しなかった。

スイッチを押さなかったので、電子レンジが動作しないのは当然です。この場合、含意は真です。

3. 含意の変換

含意 \( P \rightarrow Q \) が \( \neg P \vee Q \)論理的に同値であることを利用して変換することができます。

論理式 \( (A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow C) \) を変換します。

まず、各含意 \( A \rightarrow B \) と \( B \rightarrow C \) を変換します。 \[ A \rightarrow B \equiv \neg A \vee B \] \[ B \rightarrow C \equiv \neg B \vee C \]

したがって、次のように変換することができます。 \[(A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow C)  \equiv (\neg A \vee B) \wedge (\neg B \vee C) \]

3.1. 含意 \( P \rightarrow Q \) の変換

まず、含意 \( P \rightarrow Q \) が \( \neg P \vee Q \) に等しいことを確認します。

3.2.  \( \neg P \vee Q \)の真理値表

4. 含意を変換する例題

4.1. 問題1

含意 \( A \rightarrow B \) は \( \neg A \lor B \) と論理的に同値です。同様に、\( C \rightarrow D \) は \( \neg C \lor D \) と論理的に同値です。したがって、元の論理式は次のように書き換えられます。

\[ (A \rightarrow B) \land (C \rightarrow D) \equiv (\neg A \lor B) \land (\neg C \lor D) \]

4.2. 問題2

\( P \rightarrow (Q \land R) \) は \( \neg P \lor (Q \land R) \) と論理的に同値です。

\[ P \rightarrow (Q \land R) \equiv \neg P \lor (Q \land R) \]