定義関数の意味と具体例について
1. 定義関数とは？
定義関数（Indicator Function, Characteristic Function）とは、ある集合の要素かどうかを判定する関数です。特定の条件を満たすときに 1、満たさないときに 0 を返すシンプルな関数です。
1.1. 定義
ある集合 \( A \) に対して、その定義関数 \( \mathbf{1}_A(x) \) は次のように定義されます。
\[ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & (x \in A) \\ 0 & (x \notin A) \end{cases} \]
つまり、\( x \) が集合 \( A \) に含まれていれば 1、それ以外は 0 を返します。
この定義関数にはいくつかの表記法があります。
- \( \mathbf{1}_A(x) \)
- \( \chi_A(x) \)（ギリシャ文字カイを用いた表記）
- \( I_A(x) \)
- \( 1_A(x) \)
2. 具体例
2.1. 例 1: 偶数かどうかを判定する関数
偶数の集合 \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \text{ は偶数} \} \) に対する定義関数は次のようになります。
\[ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & (x \text{ が偶数}) \\ 0 & (x \text{ が奇数}) \end{cases} \]
例えば、
- \( x = 2 \) のとき \( \mathbf{1}_A(2) = 1 \)
- \( x = 5 \) のとき \( \mathbf{1}_A(5) = 0 \)
2.2. 例 2: 区間に含まれるかどうかを判定する関数
区間 \( A = [0,5] \) に対する定義関数は次のようになります。
\[ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & (0 \leq x \leq 5) \\ 0 & (x < 0 \text{ または } x > 5) \end{cases} \]
例えば、
- \( x = 3 \) のとき \( \mathbf{1}_A(3) = 1 \)
- \( x = -1 \) のとき \( \mathbf{1}_A(-1) = 0 \)
- \( x = 6 \) のとき \( \mathbf{1}_A(6) = 0 \)
2.3. 例 3: ある条件を満たす点だけに 1 を与える関数
例えば、\( x = 7 \) のときだけ 1 を返し、それ以外は 0 となる関数は以下のようになります。
\[ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & (x = 7) \\ 0 & (x \neq 7) \end{cases} \]
例えば、
- \( x = 7 \) のとき \( \mathbf{1}_A(7) = 1 \)
- \( x = 3 \) のとき \( \mathbf{1}_A(3) = 0 \)
