PR
更新:2025/02/02

定義関数の意味と具体例について

はるか
はるか
定義関数は、ある条件を判定するシンプルな関数。
ふゅか
ふゅか
そうね!xが指定された集合に入ってるかどうかを見て、1か0を返すのよ!
ふゅか
ふゅか
例えば、「偶数かどうか」を判定する関数なら、偶数なら1、奇数なら0を返すのよね!

1. 定義関数とは?

定義関数(Indicator Function, Characteristic Function)とは、ある集合の要素かどうかを判定する関数です。特定の条件を満たすときに 1、満たさないときに 0 を返すシンプルな関数です。

1.1. 定義

ある集合 \( A \) に対して、その定義関数 \( \mathbf{1}_A(x) \) は次のように定義されます。

\[ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & (x \in A) \\ 0 & (x \notin A) \end{cases} \]

つまり、\( x \) が集合 \( A \) に含まれていれば 1、それ以外は 0 を返します。

この定義関数にはいくつかの表記法があります。

  • \( \mathbf{1}_A(x) \)
  • \( \chi_A(x) \)(ギリシャ文字カイを用いた表記)
  • \( I_A(x) \)
  • \( 1_A(x) \)

2. 具体例

2.1. 例 1: 偶数かどうかを判定する関数

偶数の集合 \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \text{ は偶数} \} \) に対する定義関数は次のようになります。

\[ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & (x \text{ が偶数}) \\ 0 & (x \text{ が奇数}) \end{cases} \]

例えば、

  • \( x = 2 \) のとき \( \mathbf{1}_A(2) = 1 \)
  • \( x = 5 \) のとき \( \mathbf{1}_A(5) = 0 \)

2.2. 例 2: 区間に含まれるかどうかを判定する関数

区間 \( A = [0,5] \) に対する定義関数は次のようになります。

\[ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & (0 \leq x \leq 5) \\ 0 & (x < 0 \text{ または } x > 5) \end{cases} \]

例えば、

  • \( x = 3 \) のとき \( \mathbf{1}_A(3) = 1 \)
  • \( x = -1 \) のとき \( \mathbf{1}_A(-1) = 0 \)
  • \( x = 6 \) のとき \( \mathbf{1}_A(6) = 0 \)

2.3. 例 3: ある条件を満たす点だけに 1 を与える関数

例えば、\( x = 7 \) のときだけ 1 を返し、それ以外は 0 となる関数は以下のようになります。

\[ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & (x = 7) \\ 0 & (x \neq 7) \end{cases} \]

例えば、

  • \( x = 7 \) のとき \( \mathbf{1}_A(7) = 1 \)
  • \( x = 3 \) のとき \( \mathbf{1}_A(3) = 0 \)

PR