無限等比級数の公式と証明、例題について
1. 無限等比級数とは
まず、等比数列とは何かをおさらいしましょう。等比数列は、初項から始まり、各項が一定の数（公比）をかけて得られる数列のことです。
例： $$ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \ldots $$ この数列では、各項が前の項に公比 $r = 2$ をかけて得られています。
無限等比級数は、この等比数列の項を無限に足し合わせたものです。
2. 無限等比級数の公式
無限等比級数を求める公式は、次の条件を満たすときに使えます。
$$ S = \frac{a}{1 – r} $$
- $a$：初項
- $r$：公比
2.1. 具体例
例1：公比が $\frac{1}{2}$ の場合
等比数列： $$ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\ \ldots $$ ここで、初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{1}{2}$ です。
公式に当てはめると、 $$ S = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $$ したがって、この無限等比級数は 2 になります。
例2：公比が $-\frac{1}{3}$ の場合
等比数列： $$ 3,\ -1,\ \frac{1}{3},\ -\frac{1}{9},\ \ldots $$ 初項 $a = 3$、公比 $r = -\frac{1}{3}$ です。
公式に当てはめると、
$$ S = \frac{3}{1 – (-\frac{1}{3})} = \frac{3}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{4}{3}} = \frac{9}{4} $$
この場合、無限等比級数は $\frac{9}{4}$ となります。
3. 無限等比級数の公式の証明
3.1. 無限等比級数の公式の証明
無限等比級数を求める公式 \( S = \dfrac{a}{1 – r} \) を証明してみましょう。ただし、公比 \( r \) の絶対値が1未満（\( |r| < 1 \)）とします。
3.2. 部分和の計算
無限級数を直接求めるのは難しいので、まず最初の \( N \) 項までの部分和 \( S_n \) を考えます。
\[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} \]
\[ S_n = \dfrac{a (1 – r^n)}{1 – r} \]
\( n \) を無限大に近づけます（\( n \to \infty \)）。\( |r| < 1 \) の場合、\( r^n \) が \( n \to \infty \) のときに0に収束するので、
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{a (1 – r^n)}{1 – r} = \dfrac{a (1 – 0)}{1 – r} = \dfrac{a}{1 – r} \]
3.3. \( |r| \geq 1 \) の場合（発散）
\( |r| < 1 \)の場合には無限等比級数は収束しましたが、$|r| \geq 1$の場合にはどのようになるのでしょうか。
\( r = 1 \) の場合
\[ S_N = \dfrac{a (1 – 1^N)}{1 – 1} = \dfrac{0}{0}\]
不定形になるので別途考える必要があります。実際には
\[ S_n = a + a + a + \dots + a = an \]
\( n \to \infty \) で \( S_n \to \infty \) となり、発散します。
\( r = -1 \) の場合
部分和は
\[ S_n = \dfrac{a (1 – (-1)^n)}{1 – (-1)} = \dfrac{a (1 – (-1)^n)}{2} \]
\( N \) が奇数か偶数かで値が変わり、一定の値に収束しません。
$|r| > 1$の場合
$|r| > 1$の場合$r^n$が発散してしまうので、部分和も発散する。
4. 無限等比級数の例題
4.1. 例題1
\[ S = 2 – \frac{2}{3} + \frac{2}{9} – \frac{2}{27} + \cdots \]
この無限等比級数の初項は \( a = 2 \)、公比は \( r = -\frac{1}{3} \) です。
無限等比級数の公式より、
\[ S = \frac{2}{1 – (-\frac{1}{3})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
したがって、この無限等比級数は \( S = \frac{3}{2} \) です。
4.2. 例題2
\[ S = 5 – \frac{5}{4} + \frac{5}{16} – \frac{5}{64} + \cdots \]
この無限等比級数の初項は \( a = 5 \)、公比は \( r = -\frac{1}{4} \) です。
無限等比級数の公式より、
\[ S = \frac{5}{1 – (-\frac{1}{4})} = \frac{5}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{5}{\frac{5}{4}} = 5 \times \frac{4}{5} = 4 \]
したがって、この無限等比級数は \( S = 4 \) です。
