内接円の半径と三角形の面積の関係・例題について

1. 内接円の半径による三角形の面積の求め方

2. 証明

はるか

内接円の半径$r$のとき、三角形の各辺に対する高さを利用して、面積を求める。

三角形$ABC$の内接円の半径が$r$、内接円の中心を$O$であるとする。また、内接円と三角形の交点をそれぞれ、$D,E,F$とすると、$OD=OE=OF=r$となる。内心から交点の直線と接線は直行するから、OD、OE、OFはそれぞれ、BC、AB、ACを底辺にする三角形の高さとなる。したがって、三角形ABCの面積をSとすると、

$$S=\triangle{AOC}の面積+\triangle{COB}の面積+\triangle{BOA}の面積$$

となるため、$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$とすると

$$S=\dfrac{AC\cdot OF}{2}+\dfrac{BC\cdot OD}{2}+\dfrac{AB\cdot OE}{2}$$

$$S=\dfrac{b\cdot r}{2}+\dfrac{a\cdot r}{2}+\dfrac{c\cdot r}{2}$$

$$S=\dfrac{(a+b+c)r}{2}$$

となる。

また、内接円の半径は、両辺に$\dfrac{2}{a+b+c}$をかけると、

$$r=\dfrac{2S}{a+b+c}$$

とあらわすことができる。

3. 例題

3.1. 例題1：内接円の半径

まず、$3^2+4^2=5^2$となり、三平方の定理が成り立つため、三角形の面積は$3×4÷2=6$となる。半径$r$を求めると、

$$r=\dfrac{2S}{a+b+c}$$

$$=\dfrac{2\cdot 6}{12}$$

$$=1$$

となる。よって、半径は$r=1$となる。

3.2. 例題2：辺の長さ

まず、内接円の半径から三角形の面積Sを求めると、

$$S=\dfrac{12+5+c}{2}\cdot 2$$

$$=17+c$$

となる。

次に、ヘロンの公式により、面積を求める。$s=\dfrac{17+c}{2}$をすると、

$$S=\sqrt{s(s-12)(s-5)(s-c)}$$

$$=\sqrt{\dfrac{17+c}{2}\cdot\dfrac{-7+c}{2}\cdot\dfrac{7+c}{2}\cdot\dfrac{17-c}{2}}$$

となる。よって、ヘロンの公式から求めた三角形の面積と内接円の半径から求めた三角形の面積より、以下の式が成り立つ。

$$17+c=\sqrt{\dfrac{17+c}{2}\cdot\dfrac{-7+c}{2}\cdot\dfrac{7+c}{2}\cdot\dfrac{17-c}{2}}$$

$$4(17+c)=\sqrt{(17+c)(-7+c)(7+c)(17-c)}$$

両辺を２乗すると、

$$16(17+c)^2=(17+c)(-7+c)(7+c)(17-c)$$

$c$は三角形の辺であるから$c>0$となるため、両辺を$c+17$で割ると、

$$16(c+17)=(c^2-49)(17-c)$$

$$16c+272=-c^3+17c^2+49c-833$$

$$\Leftrightarrow c^3-17c^2-33c+1105=0$$

$$(c-13)(c^2-4c-85)=0$$

$$\therefore (c-13)(c-2-\sqrt{89})(c-2+\sqrt{89})$$

$c>0$であるから、$c=13、2+\sqrt{89}$となる。

また、三角形の成立条件から、$|a-b|<c<a+b$が成り立つから、

$7<c<17$となるため、$c=13、2+\sqrt{89}$である。