1/(x^3+1)の積分の具体的な解法について
1. 積分の問題
$$\int\dfrac{1}{x^3+1}\, dx $$
1.1. 必要な知識
- 部分分数分解
- 逆三角関数（arctan）
2. 積分の解法
2.1. 部分分数分解
関数 \( \dfrac{1}{x^3+1} \) の積分を求めるには、まず分母 \( x^3 + 1 \) を因数分解します。具体的には、次のように因数分解できます。
\[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \]
したがって、積分は次のように書けます。
\[ \int \frac{1}{x^3+1} \, dx = \int \frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} \, dx \]
部分分数分解を行います。まず、次の形に部分分数分解を試みます。
\[ \frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1} \]
両辺に \((x + 1)(x^2 - x + 1)\) を掛けると、
\[ 1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1) \]
これを展開して整理します。
\[ 1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx^2 + (B + C)x + C) \]
\[ 1 = (A + B)x^2 + (C - A + B)x + (A + C) \]
係数を比較します。
\[ A + B = 0 \]\[ C - A + B = 0 \]\[ A + C = 1 \]
この連立方程式を解くと、次のようになります。
1. \( A + B = 0 \) より、 \( B = -A \)
2. \( C - A + B = 0 \) より、 \( C - A - A = 0 \) つまり、 \( C = 2A \)
3. \( A + C = 1 \) より、 \( A + 2A = 1 \) つまり、 \( 3A = 1 \) よって、 \( A = \frac{1}{3} \)
\( A \) を求めたので、他の係数も求められます。
\[ B = -A = -\frac{1}{3} \]\[ C = 2A = \frac{2}{3} \]
したがって、部分分数分解は次のようになります。
\[ \frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{\frac{1}{3}}{x + 1} + \frac{(-\frac{1}{3})x + \frac{2}{3}}{x^2 - x + 1} \]
これを積分すると、
\[ \int \frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} \, dx + \frac{1}{3}\int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} \, dx \]
2.2. それぞれの項の積分
各項を積分します。
\[ \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} \, dx = \frac{1}{3} \log |x + 1| \]
次に、 \(\frac{1}{3}\int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} \, dx\) を積分します。分子を分母の微分を利用して部分分数に分解できます。
\[ \frac{1}{3}\int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} \, dx \]
この$\frac{1}{3}$を無視すると積分は次の形になります。
\[ - \int \frac{x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 2}{x^2 - x + 1} \, dx = - \int \frac{x - \frac{1}{2}}{x^2 - x + 1} \, dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} \, dx \]
$- \int \frac{x - \frac{1}{2}}{x^2 - x + 1} \, dx$の部分を積分すると、
\[ - \frac{1}{3}\int \frac{x - \frac{1}{2}}{x^2 - x + 1} \, dx = \frac{-1}{3} \left( \frac{1}{2} \log (x^2 - x + 1) \right) \]
$\frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} \, dx$の部分を積分すると、
$$\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - x + 1} \, dx = \int \frac{1}{\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} \, dx$$
$\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right)$より、
$$=\displaystyle \frac{3}{2} \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\frac{1}{2})$$
$$=\displaystyle \sqrt{3}\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}(2x-1)$$
したがって、$\frac{1}{3}$倍すると、積分結果は
$$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}(2x-1)$$
よって、最終的な積分結果は次のようになります。
\[ \int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx = \frac{1}{3} \log |x + 1| - \frac{1}{6} \log (x^2 - x + 1) + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}(2x-1) + C \]
ここで、 \( C \) は積分定数です。
