更新:2024/07/19

1/(x^3+1)の積分の具体的な解法について

はるか
はるか
$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^3+1}\, dx $ めんどくさそう。

ふゅか
ふゅか
少し複雑かもね。

1. 積分の問題

次の不定積分を計算せよ。

$$\int\dfrac{1}{x^3+1}\, dx $$

1.1. 必要な知識

  • 部分分数分解
  • 逆三角関数(arctan)

2. 積分の解法

2.1. 部分分数分解

はるか
はるか
まず、部分分数分解を使う

関数 \( \dfrac{1}{x^3+1} \) の積分を求めるには、まず分母 \( x^3 + 1 \) を因数分解します。具体的には、次のように因数分解できます。

\[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \]

したがって、積分は次のように書けます。

\[ \int \frac{1}{x^3+1} \, dx = \int \frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} \, dx \]

部分分数分解を行います。まず、次の形に部分分数分解を試みます。

\[ \frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1} \]

両辺に \((x + 1)(x^2 - x + 1)\) を掛けると、

\[ 1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1) \]

これを展開して整理します。

\[ 1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx^2 + (B + C)x + C) \]
\[ 1 = (A + B)x^2 + (C - A + B)x + (A + C) \]

係数を比較します。

\[ A + B = 0 \]\[ C - A + B = 0 \]\[ A + C = 1 \]

この連立方程式を解くと、次のようになります。

1. \( A + B = 0 \) より、 \( B = -A \)
2. \( C - A + B = 0 \) より、 \( C - A - A = 0 \) つまり、 \( C = 2A \)
3. \( A + C = 1 \) より、 \( A + 2A = 1 \) つまり、 \( 3A = 1 \) よって、 \( A = \frac{1}{3} \)

\( A \) を求めたので、他の係数も求められます。

\[ B = -A = -\frac{1}{3} \]\[ C = 2A = \frac{2}{3} \]

したがって、部分分数分解は次のようになります。

\[ \frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{\frac{1}{3}}{x + 1} + \frac{(-\frac{1}{3})x + \frac{2}{3}}{x^2 - x + 1} \]

これを積分すると、

\[ \int \frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} \, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} \, dx + \frac{1}{3}\int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} \, dx \]

2.2. それぞれの項の積分

各項を積分します。

\[ \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} \, dx = \frac{1}{3} \log |x + 1| \]

次に、 \(\frac{1}{3}\int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} \, dx\) を積分します。分子を分母の微分を利用して部分分数に分解できます。

\[ \frac{1}{3}\int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} \, dx \]

この$\frac{1}{3}$を無視すると積分は次の形になります。

\[ - \int \frac{x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 2}{x^2 - x + 1} \, dx = - \int \frac{x - \frac{1}{2}}{x^2 - x + 1} \, dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} \, dx \]

$- \int \frac{x - \frac{1}{2}}{x^2 - x + 1} \, dx$の部分を積分すると、

\[ - \frac{1}{3}\int \frac{x - \frac{1}{2}}{x^2 - x + 1} \, dx = \frac{-1}{3} \left( \frac{1}{2} \log (x^2 - x + 1) \right) \]

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} \, dx$の部分を積分すると、

$$\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - x + 1} \, dx = \int \frac{1}{\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} \, dx$$

$\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right)$より、

$$=\displaystyle \frac{3}{2} \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\frac{1}{2})$$

$$=\displaystyle \sqrt{3}\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}(2x-1)$$

したがって、$\frac{1}{3}$倍すると、積分結果は

$$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}(2x-1)$$

よって、最終的な積分結果は次のようになります。

\[ \int \frac{1}{x^3 + 1} \, dx = \frac{1}{3} \log |x + 1| - \frac{1}{6} \log (x^2 - x + 1) + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}(2x-1) + C \]

ここで、 \( C \) は積分定数です。

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