積分の公式の一覧について

1. 三角関数の積分の公式

まずは三角関数の基本的な積分の形で、よく利用される公式です。Cは積分定数とします。

$$\displaystyle\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$

$$\displaystyle\int \cos x \, dx = \sin x + C$$

$$\displaystyle\int \tan x \, dx = -\log \left| \cos x \right| + C$$

$$\displaystyle\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C$$

$$\displaystyle\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\tan x} + C$$

さらに、三角関数の積に関する積分公式も存在します。

$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases}$$

$m$ と $n$ が異なる場合、積分結果は 0 になります。一方、同じ場合には積分値が $\pi$ となります。

$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n) \end{cases}$$

こちらも同様に、異なる $m$ と $n$ の場合には積分値が 0 で、同じ場合には $\pi$ となります。これらの結果は三角関数の直交性と呼ばれます。

次に、$\cos x$および$\sin x$のべき乗の積分公式を見ていきます。

$n$ が奇数の時

$$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^n \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^n \, dx = \frac{n!!}{(n-1)!!}$$

奇数の場合、二重階乗を使った表現になります。

$n$ が偶数の時

$$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^n \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^n \, dx = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{n!!}{(n-1)!!}$$

偶数の場合には、積分値に $\frac{\pi}{2}$ を掛ける形になります。これはウォリスの積分と呼ばれます。

2. 指数・対数関数の積分

次に、指数関数と対数関数の積分公式を紹介します。対数関数の積分は、 $x$ に対数を掛け、その後に $x$ を引く形になります。

$$\displaystyle\int \log x \, dx = x \log x – x + C$$

ネイピア数の指数関数の積分は、同じ指数関数に積分定数を加えたものです。

$$\displaystyle\int e^x \, dx = e^x + C$$

底が $a$ の指数関数の積分は、同じ指数関数を $\log a$ で割ったものになります。

$$\displaystyle\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log a} + C$$

$x$ の逆数の積分は、$x$ の絶対値の対数に積分定数を加えたものです。

$$\displaystyle\int \frac{dx}{x} = \log \left| x \right| + C$$

3. その他の積分

最後に、その他の積分公式をいくつか紹介します。$x$ の $p$ 乗の積分は、指数を1増やしてその値で割る形になります。

$$\displaystyle\int x^p \, dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C$$

分母に平方根がある場合、このような対数の形で表されます。

$$\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}} = \log \left| x + \sqrt{x^2 + a} \right| + C$$

$x^2$ の分母に定数 $a^2$ が足されている場合、逆正接関数を用いた形になります。

$$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$$

分母が定数から $x^2$ を引いた平方根の場合、逆正弦関数で表されます。

$$\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 – x^2}} = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$$

ここでは、平方根が積分の中にある場合の公式です。

$$\displaystyle\int \sqrt{x^2 + a} \, dx = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{x^2 + a} + a \log \left| x + \sqrt{x^2 + a} \right| \right) + C$$

双曲線関数の積分は、次のようになります。

$$\displaystyle\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$$

$$\displaystyle\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$$

$$\displaystyle\int \tanh x \, dx = \log \left( \cosh x \right) + C$$