正則行列・逆行列の性質と具体例について

はるか

正則行列って何？

ふゅか

逆行列を持つ行列のことね！

1. 正則行列とは

ここで、\( I \) は単位行列（全ての対角成分が1で、その他の成分が0の行列）です。逆行列 は通常、\( A^{-1} \) と表記されます。

2. 正則行列の性質

• 行列 \( A \) が正則であるならば、\( A \) の行列式 \( \det(A) \) は0でない。
• \( (A^{-1})^{-1} = A \) である。
• \( (A B)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \) である。

2.1. 行列式

行列 \( A \) が正則であることは、行列 \( A \) が逆行列 \( A^{-1} \) を持つので、

\[ A A^{-1} = A^{-1} A = I \]

ここで、\( I \) は単位行列です。行列の積の行列式の性質から、次の式が成り立ちます。

\[ \det(A A^{-1}) = \det(I) \]

単位行列の行列式は1ですから、

\[ \det(A) \det(A^{-1}) = 1 \]

となります。ここで、\(\det(A)\) が0であれば、この等式が成り立たないため、\(\det(A)\) は0でないことが分かります。また、逆行列の行列式は

\[ \det(A^{-1}) = \frac{1} {\det(A)}  \]

はるか

逆行列の行列式は通常の行列式の逆数になるのか。

ふゅか

行列式の計算問題でわざわざ逆行列を計算しなくてもいいわね！

2.2. 逆行列の逆行列

\( B = A^{-1} \) と置きます。このとき、\( B \) は \( A \) の逆行列です。すなわち、
\[ AB = BA = I \]

次に、\( B \) の逆行列 \( B^{-1} \) を考えます。この \( B^{-1} \) は \( A^{-1} \) の逆行列なので、以下の等式が成り立ちます。
\[ BB^{-1} = B^{-1}B = I \]

ここで、\( B = A^{-1} \) なので、これを代入すると。
\[ (A^{-1}) (A^{-1})^{-1} = I \]

したがって、\( (A^{-1})^{-1} \) は \( A \) そのものであることがわかります。
\[ (A^{-1})^{-1} = A \]

はるか

逆行列の逆行列は元の行列に戻るのか。

2.3. 正則行列の積の逆行列

\((AB)(B^{-1}A^{-1})\) および \((B^{-1}A^{-1})(AB)\) がともに単位行列 \(I\) になることを示す必要があります。

\((AB)(B^{-1}A^{-1})\) の計算

\[ (AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I \]

\((B^{-1}A^{-1})(AB)\) の計算

\[ (B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}IB = B^{-1}B = I \]

以上により、\((AB)(B^{-1}A^{-1}) = I\) および \((B^{-1}A^{-1})(AB) = I\) が成り立つので、\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\) が成り立つ。

ふゅか

積の順番が$B^{-1}A^{-1}$になるのね！