二次方程式の解の公式と偶数の場合と例題について

はるか

二次方程式の解の公式って、知ってる？

ふゅか

うん、もちろん！「$x = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$」で解けるやつよね。簡単に使えるけど、最初はちょっと複雑に感じるかも？

はるか

まあ、使えば慣れるよ。特に平方完成から導くと、理解が深まる。

1. 二次方程式の解の公式

1.1. 証明

二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$($a\neq 0$)について、平方完成を行うと、

$$\begin{align*} a\left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x\right) +c &= 0 \\ a\left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x\right) +c &= 0 \\ a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a}+c &= 0 \\ a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}&=0 \end{align*}$$

移項すると、

$$a\left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}=\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$$

$b^{2}-4ac\geq 0$のとき、

$$\begin{align*} x+\dfrac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ x &= -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ \therefore x &= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{align*}$$

1.2. bが偶数の時

$b=2b’$と考えて代入すると、

$$\begin{align*} x &= \dfrac{-2b’ \pm \sqrt{4b’^{2}-4ac}}{2a} \\ x &= \dfrac{-2b’ \pm 2\sqrt{b’^{2}-ac}}{2a} \\ \therefore x &= \dfrac{-b’ \pm \sqrt{b’^{2}-ac}}{a} \end{align*}$$

はるか

$b = 2b’$って置くことで計算がスムーズ。式も短くなる。

2. 解の公式の例題

2.1. 例題

まず、一般形 \( ax^2 + bx + c = 0 \) から、与えられた方程式の係数 \( a = 4 \), \( b = -12 \), \( c = 9 \) であることがわかります。解の公式を利用すると、

\[ x = \dfrac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 – 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4} \]

ルートの中身を計算すると

\[ \sqrt{(-12)^2 – 4 \cdot 4 \cdot 9} = \sqrt{144 – 144} = \sqrt{0} = 0 \]

解を求める

\[ x = \dfrac{12 \pm 0}{8} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} \]

したがって、解は \( x=\dfrac{3}{2} \) です。

2.2. bが偶数の場合の公式を適用

次に、\( b = -12 \) が偶数であるため、簡略化した公式を使用できます。ここで \( b’ = \dfrac{b}{2} = -6 \) とします。

\[ x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 – 4 \cdot 9}}{4} \]

したがって、解は同じく \( x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \) となります。

はるか

ルートの中がゼロだから簡単。