固有値の積と行列式・計算問題・固有値計算の検算テクニックについて
1. 固有値の積と行列式
\[ \det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n =\prod_{i=1}^n \lambda_i \]
1.1. 行列の固有値と行列式
行列 \( A \) の固有値とは、次の固有値方程式を満たすスカラー \( \lambda \) のことです。
\[ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]
ここで、 \(\mathbf{v}\) は固有ベクトルと呼ばれる非ゼロベクトルです。
行列 \( A \) の \( n \) 個の固有値を \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) とします。
1.2. 証明
固有多項式$p(\lambda) = \det(A – \lambda I) $の根が行列 \( A \) の固有値であるため、 \( p(\lambda) \) を次の形に因数分解できます。
\[ p(\lambda) = (-1)^n (\lambda – \lambda_1)(\lambda – \lambda_2) \cdots (\lambda – \lambda_n) \]
ここで、\( \lambda = 0 \) とすると、
\[ p(0) = (-1)^n (-\lambda_1)(-\lambda_2) \cdots (-\lambda_n) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n \]
したがって、$p(0)=\det(A – 0 I) =\det(A )$より、
\[ \det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n \]
このようにして、行列 \( A \) の行列式はその固有値の積であることが示されます。
2. 例題
2.1. 例題1（サイズ2の行列）
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \]
固有値の計算を行います。
\[ A – \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 – \lambda & 1 \\ 2 & 3 – \lambda \end{pmatrix} \]
この行列の行列式を求めます。
\[ \det(A – \lambda I) = (4 – \lambda)(3 – \lambda) – (2 \cdot 1) \]
\[ = (4 – \lambda)(3 – \lambda) – 2 \]
\[ = 12 – 4\lambda – 3\lambda + \lambda^2 – 2 \]
\[ = \lambda^2 – 7\lambda + 10 \]
この二次方程式を解くと、固有値は、
\[ \lambda_1 = 5 \]\[ \lambda_2 = 2 \]
行列 \( A \) の行列式を求めると
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \]
\[ = 4 \cdot 3 – 2 \cdot 1 \]
\[ = 12 – 2 \]
\[ = 10 \]
固有値の積を求めると
\[ \lambda_1 \cdot \lambda_2 = 5 \cdot 2 = 10 \]
行列の行列式 \( \det(A) = 10 \) と固有値の積 \( \lambda_1 \cdot \lambda_2 = 10 \) が一致しました。
2.2. 例題2（サイズ2の要素が変数の行列）
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
Aの行列式を求めると次のようになる。
\[ \det A = ad – bc \]
次に固有値を求める。ケーリー・ハミルトンの定理より、固有値を$\lambda$とすると次のようになる。
\[ \lambda^2 – (a + d)\lambda + (ad – bc) = 0 \]
この二次方程式を解くことで、固有値 \(\lambda\) を求めます。
\[ \lambda = \frac{(a + d) \pm \sqrt{(a + d)^2 – 4(ad – bc)}}{2} \]
ここで$\lambda_1,\lambda_2$を次のように置く。
$$\lambda_1 = \frac{(a + d) + \sqrt{(a + d)^2 – 4(ad – bc)}}{2}$$$$\lambda_2 = \frac{(a + d) – \sqrt{(a + d)^2 – 4(ad – bc)}}{2}$$
これらの固有値$\lambda_1,\lambda_2$の積を求めます。
\[ \lambda_1\lambda_2 = \left(\frac{(a + d) + \sqrt{(a + d)^2 – 4(ad – bc)}}{2}\right) \times \left(\frac{(a + d) – \sqrt{(a + d)^2 – 4(ad – bc)}}{2}\right) \]
\[ = \frac{(a + d)^2 – \left(\sqrt{(a + d)^2 – 4(ad – bc)}\right)^2}{4} \]
\[ = \frac{(a + d)^2 – \left((a + d)^2 – 4(ad – bc)\right)}{4} \]
これをさらに整理すると、
\[ = \frac{(a + d)^2 – (a + d)^2 + 4(ad – bc)}{4} \]
\[ = \frac{4(ad – bc)}{4} \]
\[ \therefore \lambda_1\lambda_2 = ad – bc \]
