クロネッカーのデルタの性質・具体例・例題について
1. クロネッカーのデルタとは
\[ \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & (i = j) \\ 0 & \text (i \ne j) \end{cases} \]
2. クロネッカーのデルタの具体例
2.1. 単純な値の計算
\( i = 2 \), \( j = 2 \) の場合：
\[ \delta_{22} = 1 \]
\( i = 3 \), \( j = 4 \) の場合：
\[ \delta_{34} = 0 \]
2.2. 単位行列の要素として
\[ I_{ij} = \delta_{ij} \]
例えば、3×3の単位行列は、
\[ I = \begin{pmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \]
2.3. ベクトルの成分抽出
ベクトル \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) があるとします。クロネッカーのデルタを用いて特定の成分を抽出できます。
\[ \sum_{j=1}^{3} \delta_{ij} a_j = a_i \] ここで、\( i \) は1から3までの任意の整数です。
3. 例題
- \(\delta_{23}\)
- \(\delta_{44}\)
- \(\delta_{12} + \delta_{21}\)
- \(\sum_{i=1}^{3} \delta_{i2}\)
\(\delta_{23}\):
\(i = 2\) と \(j = 3\) なので、\(i \neq j\) です。
\(\delta_{23} = 0\)
\(\delta_{44}\):
\(i = 4\) と \(j = 4\) なので、\(i = j\)となるため、
\(\delta_{44} = 1\)
\(\delta_{12} + \delta_{21}\):
\(\delta_{12} = 0\)、\(\delta_{21} = 0\)となるため、
$$\delta_{12} + \delta_{21} = 0 + 0 = 0$$
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{3} \delta_{i2}\):
\(i = 1\) のとき、\(\delta_{12} = 0\)
\(i = 2\) のとき、\(\delta_{22} = 1\)
\(i = 3\) のとき、\(\delta_{32} = 0\)
よって、
$$\sum_{i=1}^{3} \delta_{i2} = 0 + 1 + 0 = 1$$
