京都大学（理系）2025年度数学第2問解答解説
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1. 解説
3を法としたとき、ある整数kが3で割り切れないときに、合同式は
$$k^2 \equiv (\pm 1)^2 \equiv 1 \pmod{3} $$
したがって、\( k^6 = (k^2)^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{3} \) および \( k^4 = (k^2)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3} \) です。
もし \(x\) と \(y\) の両方が3で割り切れなければ、$x^6 \equiv 1,\quad y^4 \equiv 1 $となるので
\[ x^6+y^4\equiv 2 \pmod{3}\]
一方、右辺 \(9z^2\) は3の倍数であるため、
\[ 9z^2\equiv 0 \pmod{3} \]
よって合同式は成立せず、少なくとも \(x\) と \(y\) のいずれも、もしくは両方とも3の倍数でなければならないことが分かります。
また、片方だけが3の倍数の場合も合同式は成立しないので、\(x\) と \(y\) は必ず3の倍数でなければなりません。
\(x\) と \(y\) が3の倍数であることから、
a,bを任意の正の整数として、$x = 3a,\quad y = 3b$と置きます。
\[ x^6 = (3a)^6 = 3^6a^6 = 729a^6,\quad y^4 = (3b)^4 = 3^4b^4 = 81b^4 \]
これを元の式に代入すると、
\[ 729a^6 + 81b^4 = 9z^2\]
両辺を9で割ると、 \[ 81a^6 + 9b^4 = z^2 \tag{1} \]
式 (1) の右辺 \(z^2\) は左辺が9の倍数であることから、\(z\) も3の倍数と考えられます。
よって、ｃを任意の正の整数として、$z = 3c$ と置くと、\(z^2 = 9c^2\) となります。
式 (1) に代入し、 \[ 81a^6 + 9b^4 = 9c^2\]
両辺をさらに9で割ると、
\[ 9a^6 + b^4 = c^2 \tag{2} \]
$a\geq 1,b\geq 1$より、$c^2\geq 10$であることがわかります。cが整数になるように小さい平方数から試していきます。
[1]$c^2=16$であるとき、
$$9a^6 + b^4 =16$$
a=1であるとき、$b^4=7$となるので不適。
a>1では、$b^4<0$となるので不適。
[2]$c^2=25$であるとき、
$$9a^6 + b^4 =25$$
a=1であるとき、$b^4=16$となるので$b=2$。
したがって、求める \(N\) は$z=3\times 5=15$のときであるから、
\[ N = 9z^2 = 9\cdot15^2 = 9\cdot225 = 2025\]
正の整数 \(N\) の最小値は 2025 である。
aが明らかに大きくなることに着目するのが重要ですね。昔に3を法とする整数問題があったような。
2. 補足
式 (2) \[ c^2 = 9a^6 + b^4 \] の最も小さい正の整数解を求めるため、まず \(a = 1\) と置いて、代入して求めることもできます。すると、 \[ c^2 = 9\cdot1^6 + b^4 = 9 + b^4. \] \(b\) の最小値は1ですが、
- \(b = 1\) のとき：\(c^2 = 9 + 1 = 10\) となり平方数ではありません。
- \(b = 2\) のとき：\(c^2 = 9 + 16 = 25\) となり、これは平方数で \(c = 5\) です。
したがって、
\[ a = 1,\quad b = 2,\quad c = 5. \]
置換 \(x = 3a,\; y = 3b,\; z = 3c\) より、
\[ x = 3,\quad y = 6,\quad z = 15. \]
3. 関連
任意の正の整数 \( k \) について、\( k \) が3で割り切れないとき、フェルマーの小定理から
\[ k^2 \equiv 1 \pmod{3} \]
が成り立つことがわかります。
4. プログラムから見た問題
4.1. 方針
- 小さな \(x, y\) の組み合わせについて、 \(x^6 + y^4\) を計算する。
- それが 9で割り切れる（すなわち、\(N = x^6 + y^4\) が9の倍数）なら、 \[ z^2 = \frac{x^6 + y^4}{9} \] を求め、これが平方数（＝整数の2乗）なら、候補として採用。
- 候補の中から、最小の \(N = 9z^2\) を選ぶ。
4.2. Python コード
import math
# 最小値探索用の初期値（十分大きく）
min_N = float('inf')
min_x = min_y = min_z = None
# 探索範囲（x, y が小さい方が N も小さくなる可能性が高い）
for x in range(1, 100):
x6 = x ** 6
for y in range(1, 100):
y4 = y ** 4
total = x6 + y4
if total % 9 != 0:
continue # 9で割れないなら無視
z_squared = total // 9
z = int(math.isqrt(z_squared))
if z * z == z_squared: # z² が完全平方数か？
N = 9 * z_squared
if N < min_N:
min_N = N
min_x, min_y, min_z = x, y, z
print(f"最小の N = {min_N}")
print(f"x = {min_x}, y = {min_y}, z = {min_z}")
4.3. 出力結果
4.4. 2025以外の解の候補
import math
results = []
# 適度な範囲で探索（大きくすると時間がかかる）
for x in range(1, 50):
x6 = x ** 6
for y in range(1, 50):
y4 = y ** 4
total = x6 + y4
if total % 9 != 0:
continue # 9で割り切れないものは無視
z_squared = total // 9
z = int(math.isqrt(z_squared))
if z * z == z_squared: # 完全平方数ならOK
N = 9 * z_squared
results.append((N, x, y, z))
# N の小さい順にソートして表示
results.sort()
print("見つかった候補（N = x^6 + y^4 = 9z^2）:")
for N, x, y, z in results[:10]: # 最初の10個
print(f"N = {N}, x = {x}, y = {y}, z = {z}")
