【制約条件が等式の場合】ラグランジュの未定乗数法の手順・具体例・例題について
1. ラグランジュの未定乗数法
ラグランジュの未定乗数法は、制約条件の下で極致を求める方法です。制約条件が等式、不等式の場合があり、今回は等式の場合について解説します。
2. ラグランジュの未定乗数法の問題設定
- 目的関数 \( f(x, y, \ldots) \) を最大化または最小化したい。（極値を求めたい。）
- 制約条件 \( g(x, y, \ldots) = 0 \) がある。
ここで、\( x, y, \ldots \) は変数で、\( g(x, y, \ldots) \) は制約条件を表す関数です。
2.1. ラグランジュ未定乗数法の手順
目的関数 \( f(x, y, \ldots) \) と制約条件 \( g(x, y, \ldots) \) に基づいて、次のように関数 \( \mathcal{L} \) を構築します。
\[ \mathcal{L}(x, y, \ldots, \lambda) = f(x, y, \ldots) + \lambda g(x, y, \ldots) \]
ここで、\( \lambda \) はラグランジュ乗数と呼ばれるパラメータです。
関数 \( \mathcal{L} \) を各変数 \( x, y, \ldots \) および \( \lambda \) について偏微分し、その偏微分がすべて 0 になる条件を求めます。
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0, \quad \ldots, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0 \]
これにより、元の最適化問題に関連する方程式が得られます。
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0$$
は結局$g(x, y, \ldots) = 0$になり制約条件と同じになるので、計算しなくてもいいです。
2.2. 2変数関数の場合のラグランジュ未定乗数法
次のように、目的関数 \( f(x, y) \) と制約条件 \( g(x, y) \) に基づいて、新しい関数 \( \mathcal{L} \) を構築します。
\[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y) \]
この関数 \( \mathcal{L} \) は、ラグランジュの未定乗数法を使って、制約条件 \( g(x, y) = 0 \) を満たしながら目的関数 \( f(x, y) \) を最適化するための手法です。次に、関数 \( \mathcal{L} \) を各変数 \( x \) および \( y \) について偏微分し、それらをゼロに等しくします。
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0 \]
まず、\( x \) についての偏微分を考えると、
\[ f_x + \lambda g_x = 0 \]
\[ f_x = -\lambda g_x \]
ここで、\( f_x \) は \( f \) を \( x \) で偏微分したもの、\( g_x \) は \( g \) を \( x \) で偏微分したものです。同様に、\( y \) についても偏微分を行うと、
\[ f_y + \lambda g_y = 0 \]
\[ f_y =- \lambda g_y \]
これにより、\( x \) と \( y \) に関する2つの方程式が得られました。両方の方程式から \( \lambda \) を除去するために、次のように2つの方程式を比率の形で書き直します。
\[ \frac{f_x}{g_x} = \frac{f_y}{g_y} \]
したがって、\( \lambda \) を直接求めることなく、関数 \( f \) と \( g \) の偏微分を使って解を導き出すことができるのです。
2.3. 具体例
目的関数: \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)
制約条件: \( g(x, y) = x + y – 1 = 0 \)
目的関数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) の偏微分を計算します。
\[ f_x = 2x, \quad f_y = 2y \]
制約条件 \( g(x, y) = x + y – 1 \) の偏微分を計算します。
\[ g_x = 1, \quad g_y = 1 \]
ラグランジュの未定乗数法より、
\[ \frac{2x}{1} = \frac{2y}{1} \]
したがって 、x=yとなる。制約条件より、\( x + x = 1 \)となるので、極値の候補 \( \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right) \) が求まります。
2.4. gradを使った場合
$$\mathrm{grad} f = \lambda \, \mathrm{grad} g$$
また、ナブラ（∇）を使うと
$$\nabla f = \lambda \nabla g$$
3. ラグランジュ未定乗数法の例題
3.1. 例題 1（制約条件が円）
関数 \( f(x, y) = x + 2y \) の偏微分を計算します。
\[ f_x = 1, \quad f_y = 2 \]
制約条件 \( g(x, y) = x^2 + y^2 – 1 \) の偏微分を計算します。
\[ g_x = 2x, \quad g_y = 2y \]
与えられた式に従い、次の関係式を立てます。
$$\begin{align*} \frac{f_x}{g_x} &= \frac{f_y}{g_y} \\ \frac{1}{2x} &= \frac{2}{2y} \\ \frac{1}{x} &= \frac{2}{y} \\ y &= 2x \end{align*}$$
制約条件 \( x^2 + y^2 = 1 \) を用いて、\( y = 2x \) を代入します。
\[ \begin{align*} x^2 + (2x)^2 &= 1 \\ x^2 + 4x^2 &= 1 \\ 5x^2 &= 1 \\ x^2 &= \frac{1}{5}\\ x &= \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \end{align*}\]
\( y = 2x \) より、対応する \( y \) の値は次のようになります。
- \( x = \frac{1}{\sqrt{5}} \) のとき、\( y = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)
- \( x = -\frac{1}{\sqrt{5}} \) のとき、\( y = 2 \times -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \)
したがって、極値の候補は以下の2点です。
\[ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right), \quad \left( -\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) \]
これらの点で関数 \( f(x, y) \) の値を計算してみましょう。$\left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)$の場合
$$\begin{align*} f\left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) &= \frac{1}{\sqrt{5}} + 2 \times \frac{2}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{1 + 4}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{5}{\sqrt{5}} \\ &= \sqrt{5} \end{align*}$$
$\left( -\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right)$の場合、
$$\begin{align*} f\left( -\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) &= -\frac{1}{\sqrt{5}} + 2 \times -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ &= -\frac{1 + 4}{\sqrt{5}} \\ &= -\frac{5}{\sqrt{5}} \\ &= -\sqrt{5} \end{align*}$$
3.2. 例題 2（平面上の距離）
点と直線の距離の公式を利用したら、最小値が一発でわかりますが、ここはあえてラグランジュの未定乗数法を利用して計算したいと思います。
最小化する関数として距離の2乗を設定します。
\[ f(x, y) = (x – 1)^2 + (y – 2)^2 \]
制約条件として、直線を設定します。
\[ g(x, y) = x + y – 4 = 0 \]
まず、目的関数 \( f(x, y) = (x – 1)^2 + (y – 2)^2 \) の偏微分を計算します。
\[ f_x = 2(x – 1), \quad f_y = 2(y – 2) \]
制約条件 \( g(x, y) = x + y – 4 = 0 \) の偏微分は、
\[ g_x = 1, \quad g_y = 1 \]
ラグランジュの未定乗数法より、
\[ \frac{2(x – 1)}{1} = \frac{2(y – 2)}{1} \]
これを整理すると、
\[ x – 1 = y – 2 \]
つまり、
\[ x = y – 1 \]
次に、制約条件 \( x + y = 4 \) を利用します。ここに \( x = y – 1 \) を代入します。
\[ (y – 1) + y = 4 \]
これを解くと、
\[\begin{align*} 2y – 1 &= 4 \\ 2y &= 5 \\ y &= \frac{5}{2} \end{align*}\]
これを \( x = y – 1 \) に代入して \( x \) を求めます。
\[ x = \frac{5}{2} – 1 = \frac{3}{2} \]
したがって、極値の候補となる点は \( \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) \) です。つまり、点 \( \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) \) が、点 \( (1, 2) \) から直線 \( x + y = 4 \) までの距離を最小化するための候補点です。実際に距離がどうなるのか求めます。\( f(x, y) \) に代入すると
\[ f\left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) = \left( \frac{3}{2} – 1 \right)^2 + \left( \frac{5}{2} – 2 \right)^2 \]
これを計算すると、
$$\begin{align*} f\left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) &= \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}$$
距離の2乗が \( \frac{1}{2} \) ですので、実際の距離 \( d \) は、
\[ d = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
点と直線の距離の公式を利用して計算すると、
$$d=\dfrac{|1+2-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}$$
で同じ距離が求められました。
