ラグランジュの三角恒等式の証明・Σcoskθ、Σsinkθについて

1. ラグランジュの三角恒等式とは

2. $\sin k\theta$証明

数学的帰納法を利用して証明します。

[1]まず、\(n = 0\) の場合を確認します。

\[ \sum_{k=0}^0 \sin k\theta = \sin 0\theta = 0 \]

一方、右辺は

\[ \frac{\cos\frac{1}{2}\theta – \cos\left(0 + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} = \frac{\cos\frac{1}{2}\theta – \cos\frac{1}{2}\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} = \frac{0}{2\sin\frac{1}{2}\theta} = 0 \]

となり、等式は成立します。

[2]次に、ある \(n = m\) について

\[ \sum_{k=0}^m \sin k\theta = \frac{\cos\frac{1}{2}\theta – \cos\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \]

が成立すると仮定します。

[3]仮定をもとに、\(n = m + 1\) の場合、

\[ \sum_{k=0}^{m+1} \sin k\theta = \left( \sum_{k=0}^m \sin k\theta \right) + \sin(m+1)\theta \] 仮定より、 \[ \sum_{k=0}^{m+1} \sin k\theta = \frac{\cos\frac{1}{2}\theta – \cos\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} + \sin(m+1)\theta \]

ここで、\(\sin(m+1)\theta\) を加えるために、加法定理を利用します。

\[ \cos\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta – \cos\left(m + \frac{3}{2}\right)\theta = 2\sin\left(m+1\right)\theta \sin\frac{1}{2}\theta \] これを変形して、 \[ \sin(m+1)\theta = \frac{\cos\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta – \cos\left(m + \frac{3}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \]

これをもとに、元の式に代入します、

\[ \sum_{k=0}^{m+1} \sin k\theta = \frac{\cos\frac{1}{2}\theta – \cos\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} + \frac{\cos\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta – \cos\left(m + \frac{3}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \] \[ = \frac{\cos\frac{1}{2}\theta – \cos\left(m + \frac{3}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \]

右辺の形に合わせると、 \[ = \frac{\cos\frac{1}{2}\theta – \cos\left((m+1) + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \]

これで \(n = m + 1\) の場合にも等式が成り立つことが示されました。

数学的帰納法により、0を含む任意の自然数 \(n\) に対して、 \[ \sum_{k=0}^n \sin k\theta = \frac{\cos\frac{1}{2}\theta-\cos\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \] が成り立つことが証明されました。

3. $\cos k\theta$の証明

数学的帰納法を利用して証明します。

[1]まず、\( n = 0 \) の場合を確認します。

\[ \sum_{k=0}^0 \cos k\theta = \cos 0\theta = 1 \]

一方、右辺は

\[ \frac{\sin\frac{1}{2}\theta + \sin\left(0 + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} = \frac{\sin\frac{1}{2}\theta + \sin\frac{1}{2}\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} = \frac{2\sin\frac{1}{2}\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} = 1 \]

したがって、\( n = 0 \) の場合に等式が成り立ちます。

[2]次に、ある \( n = m \) について

\[ \sum_{k=0}^m \cos k\theta = \frac{\sin\frac{1}{2}\theta + \sin\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \]

が成立すると仮定します。

[3]この仮定をもとに、\( n = m + 1 \) の場合について証明します。

\[ \sum_{k=0}^{m+1} \cos k\theta = \left( \sum_{k=0}^m \cos k\theta \right) + \cos(m+1)\theta \]

仮定より、

\[ \sum_{k=0}^{m+1} \cos k\theta = \frac{\sin\frac{1}{2}\theta + \sin\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} + \cos(m+1)\theta \]

ここで、\(\cos(m+1)\theta\) を加えるために、加法定理を利用します。

\[ \sin\left(m + \frac{3}{2}\right)\theta – \sin\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta = 2\cos\left(m+1\right)\theta \sin\frac{1}{2}\theta \]

これを変形して、

\[ \cos(m+1)\theta = \frac{\sin\left(m + \frac{3}{2}\right)\theta – \sin\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \]

これを元の式に代入します。

\[ \sum_{k=0}^{m+1} \cos k\theta = \frac{\sin\frac{1}{2}\theta + \sin\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} + \frac{\sin\left(m + \frac{3}{2}\right)\theta – \sin\left(m + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \]

\[ = \frac{\sin\frac{1}{2}\theta + \sin\left(m + \frac{3}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \]

右辺の形に合わせると、

\[ \sum_{k=0}^{m+1} \cos k\theta = \frac{\sin\frac{1}{2}\theta + \sin\left((m+1) + \frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \]

これで \( n = m + 1 \) の場合にも等式が成り立つことが示されました。

数学的帰納法により、0を含む任意の自然数 \( n \) に対して、

\[ \sum_{k=0}^n \cos k\theta = \frac{\sin\frac{1}{2}\theta + \sin\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \] が成り立つことが証明されました。