LaTeX ＆ KaTeX で使う論理記号一覧と書き方を徹底解説

「数学の論文やレポートで論理式を正しく表現したいけれど、LaTeX や KaTeX の記号の書き方が分からない…」

そんな悩みを抱えたことはありませんか？

数学や論理学では、「否定（¬）」や「論理積（∧）」、「論理和（∨）」 などの記号を用いることで、複雑な論理をシンプルかつ明確に表現できます。しかし、TeX の記法に慣れていないと、「どうやって記号を入力するのか？」と迷ってしまうこともあるでしょう。

本記事では、LaTeX & KaTeX の論理記号の書き方を1つずつ丁寧に解説し、それぞれのコマンドを 具体的なコードと出力例付き で紹介します。

1. 論理記号とは

論理学では、命題や論証を記述する際に特有の記号を用います。これらは口頭・文面での「～ならば」「～かつ」などの言葉を、厳密かつ簡潔に表現するためのツールです。LaTeX では、これらの論理記号を数式モード(\( … \) あるいは \[ ... \])で記述することが多いです。必要に応じて、数学記号が充実したパッケージ（amsmath や amssymb など）を導入することで利用できる記号が増えます。

2. よく使われる論理記号一覧

以下に、論理学で最も基本的かつ頻繁に使用される記号と LaTeX コマンドを表にまとめました。

3. そのほか便利な記号

数学や証明に関連する場面では、以下のような記号もよく登場します。LaTeX で押さえておくと便利です。

4. 例：論理式を書いてみる

実際に LaTeX で論理式を書いてみましょう。たとえば、「命題 \(P\) から命題 \(Q\) が導かれる」「\(P\) でなければ \(Q\) である」といった論理式を表現したい場合、LaTeX では以下のように記述します。

\[
  P \Rightarrow Q
\]

\[ P \Rightarrow Q \]

あるいは、

\[
  \lnot P \lor Q
\]

\[ \lnot P \lor Q \]と書くこともあります。
両方をまとめて「二重条件」で書きたい場合は、

\[
  (P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\lnot P \lor Q)
\]

のように書くことができます。ここで \Leftrightarrow は論理的な「同値」を意味します。

以下では、代表的な論理記号について、「TeX（LaTeX）」と「KaTeX」での記述方法を1つずつ確認する形でまとめます。基本的に KaTeX でも LaTeX と同様のコマンドが使用できますが、一部未サポートのコマンドが存在する場合があります（KaTeX のバージョンや導入設定による）。本記事では、よく使われる論理記号に限って解説します。

5. 論理記号一覧

以下に代表的な論理記号を示します。「LaTeX/TeX コマンド」「KaTeX コマンド」は同じと考えて差し支えありませんが、KaTeX のバージョンによってはサポート状況が変わる可能性があります。

5.1. 否定 (Negation)

• 記号: ¬ (または \(\lnot\))
• 意味: 「～でない」「否定」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \lnot もしくは \neg どちらも同じ表示になることが多いです。

使用例 (LaTeX / KaTeX):

% インラインの場合
This is not true: \( \lnot P \).

% ディスプレイ表示の場合
\[
  \lnot P
\]

結果:

インライン: \( \lnot P \)

ディスプレイ:

\[ \lnot P \]

5.2. 論理積 (Conjunction)

• 記号: ∧
• 意味: 「かつ (and)」、両方が真のときだけ真
• LaTeX / KaTeX コマンド: \land

使用例:

% インライン
\( P \land Q \)

% ディスプレイ
\[
  P \land Q
\]

結果:

インライン: \( P \land Q \)

ディスプレイ:

\[ P \land Q \]

5.3. 論理和 (Disjunction)

• 記号: ∨
• 意味: 「または (or)」、いずれか一方でも真ならば真
• LaTeX / KaTeX コマンド: \lor

使用例:

\( P \lor Q \)

結果: \( P \lor Q \)

5.4. 含意1 (Implication)

• 記号: →
• 意味: 「～ならば」「if … then …」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \to または \rightarrow
  • どちらも同じ表示になります。

使用例:

\( P \to Q \)

結果: \( P \to Q \)

5.5. 含意2 (Implies)

• 記号: ⇒
• 意味: 「ならば」を強調
• LaTeX / KaTeX コマンド: \Rightarrow

使用例:

\( P \Rightarrow Q \)

結果: \( P \Rightarrow Q \)

5.6. 同値1 (Biconditional)

• 記号: ↔
• 意味: 「両方向の含意」「P ならば Q であり、Q ならば P」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \leftrightarrow

使用例:

\( P \leftrightarrow Q \)

結果: \( P \leftrightarrow Q \)

5.7. 同値2

• 記号: ⇔
• 意味: 「同値」「if and only if」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \Leftrightarrow

使用例:

\( P \Leftrightarrow Q \)

結果: \( P \Leftrightarrow Q \)

5.8. 全称量化子 (Universal Quantifier)

• 記号: ∀
• 意味: 「任意の」「すべての」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \forall

使用例:

\( \forall x \in A,\ P(x) \)

結果:

\[ \forall x \in A,\ P(x) \]

5.9. 存在量化子 (Existential Quantifier)

• 記号: ∃
• 意味: 「存在する」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \exists

使用例:

\( \exists x \in A,\ P(x) \)

結果:

\[ \exists x \in A,\ P(x) \]

5.10. 不存在 (Non-existence)

• 記号: ∄
• 意味: 「存在しない」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \nexists

使用例:

\( \nexists x \in A,\ P(x) \)

結果:

\[ \nexists x \in A,\ P(x) \]

5.11. 真 (Truth)

• 記号: ⊤
• 意味: 「真 (True)」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \top （しばしば単に T と書くこともあります）

使用例:

\( P \land \top \equiv P \)

結果:

\[ P \land \top \equiv P \]

5.12. 偽 (Falsity)

• 記号: ⊥
• 意味: 「偽 (False)」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \bot （しばしば単に F と書くこともあります）

使用例:

\( P \lor \bot \equiv P \)

結果:

\[ P \lor \bot \equiv P \]

5.13. よって（Therefore）

• 記号: ∴
• 意味: 「したがって」「よって」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \therefore

使用例:

\( P \land (P \to Q) \therefore Q \)

結果:

\[ P \land (P \to Q) \therefore Q \]

5.14. なぜならば（Because）

• 記号: ∵
• 意味: 「なぜならば」
• LaTeX / KaTeX コマンド: \because

使用例:

\( \because P \land (P \to Q),\ Q \)

結果:

\[ \because P \land (P \to Q),\ Q \]

5.15. 証明終了 (End of Proof)

• 記号: ■（白四角）または ■（黒四角）
• LaTeX / KaTeX コマンド:
  • 白四角: \square
  • 黒四角: \blacksquare

使用例:

\[
  P \to Q \quad \square
\]

\[ P \to Q \quad \square \]

または

\[
  P \to Q \quad \blacksquare
\]

\[ P \to Q \quad \blacksquare \]