更新:2024/09/21

【7選】基本的な極限の公式について

はるか
はるか
三角関数の極限って、覚えておくと便利。
ふゅか
ふゅか
そうだね!特に $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ はよく使うわよね!この公式は、三角関数の基本だから、しっかり理解しておくと色んな場面で助かるのよ♪

1. 三角関数の極限

続いて、特に重要でよく使われるいくつかの極限の公式を紹介します。これらは、多くの問題で頻繁に登場するため、覚えておくと役立ちます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

この公式は、\( x \) が 0 に近づくときの \( \sin x \) と \( x \) の比の極限です。$\frac{\sin x}{x}$はsinc関数と呼ばれます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

\( x \) が 0 に近づくときの \( 1 - \cos x \) と \( x^2 \) の比の極限は 1/2 になります。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$

小さな角度において、\( \tan x \) は \( x \) とほぼ同じ値をとります。

2. 指数関数・対数関数に関連する極限

$$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$$

\( e \) は自然対数の底として知られる重要な定数で、この極限によって定義されます。

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$

無限に近づく \( x \) に対して、この式も \( e \) に収束します。$\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$に対して、$x=\frac{1}{t}$とすると、簡単に求められます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$$

どちらも、対数関数の基本的な極限です。

PR