【7選】基本的な極限の公式について
1. 三角関数の極限
続いて、特に重要でよく使われるいくつかの極限の公式を紹介します。これらは、多くの問題で頻繁に登場するため、覚えておくと役立ちます。
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
この公式は、\( x \) が 0 に近づくときの \( \sin x \) と \( x \) の比の極限です。$\frac{\sin x}{x}$はsinc関数と呼ばれます。
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$
\( x \) が 0 に近づくときの \( 1 - \cos x \) と \( x^2 \) の比の極限は 1/2 になります。
$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$
小さな角度において、\( \tan x \) は \( x \) とほぼ同じ値をとります。
2. 指数関数・対数関数に関連する極限
$$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$$
\( e \) は自然対数の底として知られる重要な定数で、この極限によって定義されます。
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$$
無限に近づく \( x \) に対して、この式も \( e \) に収束します。$\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$に対して、$x=\frac{1}{t}$とすると、簡単に求められます。
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$$
どちらも、対数関数の基本的な極限です。
