線形独立と線形従属の定義・例題について
1. 線形独立
ベクトルが線形独立であるとは、集合内のどのベクトルも他のベクトルの線形結合で表すことができない状態を指します。
\[ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \ldots + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \]
が成り立つための唯一の解が \(c_1 = c_2 = \ldots = c_n = 0\)（すべての係数がゼロ）である場合を言います。
2. 線形従属
逆に、ベクトルが線形従属であるとは、集合内の少なくとも一つのベクトルが他のベクトルの線形結合で表すことができる状態を指します。
\[ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \ldots + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} \]
に対して、全ての \(c_i\) がゼロではない解が存在します。
これは、そのベクトル集合が「冗長」であることを示し、ベクトルの中には他のベクトルから生成可能なものが含まれています。
3. 例題
3.1. 問題 1
\[ \mathbf{v}_1 = (1, 2, 3), \quad \mathbf{v}_2 = (4, 5, 6), \quad \mathbf{v}_3 = (7, 8, 9) \]
線形結合 \( \mathbf v_1 x_1 + \mathbf v_2 x_2 + \mathbf v_3 x_3 = 0\) を解いてみると、
\[ x_1 (1, 2, 3) + x_2 (4, 5, 6) + x_3 (7, 8, 9) = (0, 0, 0) \]
行列で表すと
\[ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
ランクを計算するために、行基本変形を行う。
第二行から第一行の2倍を引く。
\[ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \]
第三行から第一行の3倍を引く。
\[ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{bmatrix} \]
第三行から第二行を \(-2\) 倍する。
\[ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0& 0 \end{bmatrix} \]
したがって、行列はランク2であり、解の自由度が1であるため、ベクトルは線形従属です。解の自由度が1より、$z = t$と置くと、$y=-2t$となるので、
$$x+4\cdot (-2t) + 7t = 0$$
$$\therefore x = t$$
となりました。ベクトル$\begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix} $は次のようになります。
$$\begin{bmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix} =t \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} $$
したがって、$t=1$のとき、線形和は次のようになります。
$$\mathbf v_1-2 \mathbf v_2 +\mathbf v_3 = 0$$
$$ \mathbf v_1 = 2\mathbf v_2-\mathbf v_3 $$
となります。
3.2. 問題 2
\[ \mathbf{v}_1 = (1, 0, 0), \quad \mathbf{v}_2 = (0, 1, 0), \quad \mathbf{v}_3 = (0, 0, 1) \]
方程式 \(\mathbf v_1 x_1 + \mathbf v_2 x_2 + \mathbf v_3 x_3 = 0\) を解いてみると、
\[ x_1 (1, 0, 0) + x_2 (0, 1, 0) + x_3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0) \]
行列で表すと
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
したがって、行列はランク3であり、解の自由度は0であるため、この方程式を満たすのは \(x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0\) のみです。したがって、これらのベクトルは線形独立です。
