線形写像の定義・具体例・例題について

はるか

線形写像って、難しい。

ふゅか

簡単に言うと、線形写像はベクトル空間の変換よ！例えば、あるベクトルを変形しても、その性質は変わらないんだ。加

1. 線形写像とは

はるか

加法とスカラー倍… つまり、線形写像しても足し算や掛け算が変わらないってこと？

ふゅか

そうそう！たとえば、2つのベクトルを足して写像しても、最初に変換してから足しても結果は同じになるの。スカラー倍も同じように考えられるわ！

2. 線形写像の具体例

\( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) の線形写像 \( f \) の具体例を示します。

2.1. 例 1: 回転行列を用いた線形写像

線形写像 \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) は、ベクトル \( (x, y) \) を角度 \( \theta \) だけ回転させる写像として定義できます。

\[ f\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]

例えば、\( \theta = \frac{\pi}{4} \) の場合、45度回転する写像になります。

\[ f\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{x – y}{\sqrt{2}} \\ \frac{x + y}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \]

2.2. 例 2: 拡大・縮小行列を用いた線形写像

拡大・縮小を表す線形写像も定義できます。

\[ f\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x \\ 3y \end{bmatrix} \]

この写像は、x方向に2倍、y方向に3倍に拡大する写像です。

2.3. 例 3: シアー変換（せん断変換）

せん断変換を表す線形写像もあります。

\[ f\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + y \\ y \end{bmatrix} \]

この写像は、x軸方向にyの量だけずらすせん断変換です。

3. 例題

ふゅか

じゃあ、次に問題を解いてみよう！写像が線形かどうかを確認する問題だよ。

はるか

うん、加法とスカラー倍の性質が成り立てば線形写像だよね？

ふゅか

その通り！まずは加法性を確認して、次にスカラー倍を確認するの。順を追って解けば大丈夫！

3.1. 例題1：\( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \)

加法性の性質を確認をします。

\( \mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}, \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \) とすると、

\[ f\left( \mathbf{u} + \mathbf{v} \right) = f\left( \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2(u_1 + v_1) – (u_2 + v_2) \\ 3(u_1 + v_1) + 4(u_2 + v_2) \\ (u_1 + v_1) + 5(u_2 + v_2) \end{bmatrix} \] \[ = \begin{bmatrix} 2u_1 – u_2 \\ 3u_1 + 4u_2 \\ u_1 + 5u_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2v_1 – v_2 \\ 3v_1 + 4v_2 \\ v_1 + 5v_2 \end{bmatrix} = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) \]

よって、加法性が成り立ちます。

スカラー倍の性質を確認をします。

\( \alpha \in \mathbb{R}, \mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} \) とすると、

\[ f(\alpha \mathbf{u}) = f\left( \begin{bmatrix} \alpha u_1 \\ \alpha u_2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2(\alpha u_1) – (\alpha u_2) \\ 3(\alpha u_1) + 4(\alpha u_2) \\ (\alpha u_1) + 5(\alpha u_2) \end{bmatrix} \] \[ = \alpha \begin{bmatrix} 2u_1 – u_2 \\ 3u_1 + 4u_2 \\ u_1 + 5u_2 \end{bmatrix} = \alpha f(\mathbf{u}) \]

よって、スカラー倍も成り立ちます。

この写像 \( f \) は、加法性とスカラー倍の両方の条件を満たしているため、線形写像です。

3.2. 例題2：\( f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2 \)

加法性の性質を確認をします。

\( \mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \end{bmatrix}, \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix} \) とすると、

\[ f\left( \mathbf{u} + \mathbf{v} \right) = f\left( \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \\ u_4 + v_4 \end{bmatrix} \right) \] \[ = \begin{bmatrix} 3(u_1 + v_1) – 2(u_2 + v_2) + (u_3 + v_3) \\ -(u_1 + v_1) + 4(u_2 + v_2) + 5(u_4 + v_4) \end{bmatrix} \] \[ = \begin{bmatrix} 3u_1 – 2u_2 + u_3 \\ -u_1 + 4u_2 + 5u_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3v_1 – 2v_2 + v_3 \\ -v_1 + 4v_2 + 5v_4 \end{bmatrix} = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) \]

よって、加法性が成り立ちます。

スカラー倍の性質を確認をします。

\( \alpha \in \mathbb{R}, \mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \end{bmatrix} \) とすると、

\[ f(\alpha \mathbf{u}) = f\left( \begin{bmatrix} \alpha u_1 \\ \alpha u_2 \\ \alpha u_3 \\ \alpha u_4 \end{bmatrix} \right) \] \[ = \begin{bmatrix} 3(\alpha u_1) – 2(\alpha u_2) + (\alpha u_3) \\ -(\alpha u_1) + 4(\alpha u_2) + 5(\alpha u_4) \end{bmatrix} \] \[ = \alpha \begin{bmatrix} 3u_1 – 2u_2 + u_3 \\ -u_1 + 4u_2 + 5u_4 \end{bmatrix} = \alpha f(\mathbf{u}) \]

よって、スカラー倍も成り立ちます。

この写像 \( f \) は、加法性とスカラー倍の両方の条件を満たしているため、線形写像です。