線形代数で使われる表記
1. 目次
1.1. 内積
1.1.1. 表記
高校までの内積の表記
\( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} \)
\( \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) =\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}\)
$k\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} =\boldsymbol{a} \cdot k\boldsymbol{b}$
線形代数で使われる内積の表記
$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{b},\boldsymbol{a})$
ベクトルの交換法則や線形性は以下のようになる。
$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})$
$(\boldsymbol{a},k\boldsymbol{b})=(k\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=k(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})$
$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$を$1行n列$の列ベクトル(行列)とすると、転置行列を用いて、
$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b^{\mathrm{T}}})=(\boldsymbol{a^{\mathrm{T}}},\boldsymbol{b})$
1.2. スカラー(2乗)の表記
高校で使われるベクトルの大きさの表記
\( | \vec{a} | \)
線形代数で使われるベクトルの大きさ(ノルム)の表記
\( \| \boldsymbol{a} \| \)
1.2.1. 演算
$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\cos \theta $
$\|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|\leq\|\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{b}\|$
1.2.2. ベクトルの三角不等式の証明
$(\left\|\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{b}\|\right)^2-\|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|^2$
$=\left\|\boldsymbol{a}\right\| ^{2}+2\left\| \boldsymbol{a}\right\| \left\| \boldsymbol{b}\right\| +\left\|\boldsymbol{b}\right\| ^{2}-\left\| \boldsymbol{a}\right\| ^{2}-2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})-\left\| \boldsymbol{b}\right\| ^{2}$
$=2(\left\| \boldsymbol{a}\right\| \left\| \boldsymbol{b}\right\|-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}))$
$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\cos \theta $より、
$=2\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|(1-\cos\theta)$
$-1\leq\cos\theta\leq1$より、$1-\cos\theta\geq0$となるため、
$=2\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|(1-\cos\theta)\geq0$
したがって、
$\|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|\leq\|\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{b}\|$
1.3. 行列の表記
$A=\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}
\end{bmatrix}$
$(m,n)$行列は以上にように表しますが、$A=[a_{ij}]$とあらわすことがあります。