線形代数で使われる表記

今回は、線形代数で使われる表記について、解説させていただきます。

1.1. 内積

1.1.1. 表記

高校までの内積の表記

\( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} \)

\( \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) =\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}\)

$k\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} =\boldsymbol{a} \cdot k\boldsymbol{b}$

線形代数で使われる内積の表記

$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{b},\boldsymbol{a})$

ベクトルの交換法則や線形性は以下のようになる。

$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})$

$(\boldsymbol{a},k\boldsymbol{b})=(k\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=k(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})$

$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$を$１行n列$の列ベクトル(行列)とすると、転置行列を用いて、

$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b^{\mathrm{T}}})=(\boldsymbol{a^{\mathrm{T}}},\boldsymbol{b})$

1.2. スカラー(2乗)の表記

高校で使われるベクトルの大きさの表記

\( | \vec{a} | \)

線形代数で使われるベクトルの大きさ（ノルム）の表記

\( \| \boldsymbol{a} \| \)

1.2.1. 演算

1.2.2. ベクトルの三角不等式の証明

$(\left\|\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{b}\|\right)^2-\|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|^2$

$=\left\|\boldsymbol{a}\right\| ^{2}+2\left\| \boldsymbol{a}\right\| \left\| \boldsymbol{b}\right\| +\left\|\boldsymbol{b}\right\| ^{2}-\left\| \boldsymbol{a}\right\| ^{2}-2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})-\left\| \boldsymbol{b}\right\| ^{2}$

$=2(\left\| \boldsymbol{a}\right\| \left\| \boldsymbol{b}\right\|-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}))$

$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\cos \theta $より、

$=2\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|(1-\cos\theta)$

$-1\leq\cos\theta\leq1$より、$1-\cos\theta\geq0$となるため、

$=2\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|(1-\cos\theta)\geq0$

したがって、

$\|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\|\leq\|\boldsymbol{a}\|+\|\boldsymbol{b}\|$

1.3. 行列の表記

$A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{bmatrix}$
$(m,n)$行列は以上にように表しますが、$A=[a_{ij}]$とあらわすことがあります。