更新:2024/11/24

【図形と方程式】軌跡と点の集合、3つの例題について

$はるか$

はるか

軌跡って、特定の条件で点が動いたときの通り道。

$ふゅか$

ふゅか

そうそう！例えば、点が2つの固定点との距離の条件を満たすとき、その点がどんな道を描くかを考えるのが「軌跡」なんだよね。数学の図形問題でよく出るテーマだよ♪

1. 軌跡
1.1. 軌跡の求め方
2. 例題
2.1. 例題1：動点と円
2.2. 例題2：動点と中点
2.3. 例題3：動点と重心

1. 軌跡

軌跡とは、特定の条件を満たしながら動く点の集合のことを指します。言い換えると、ある条件下で可能なすべての点の場所を集めたものです。

1.1. 軌跡の求め方

1. 動点の座標を設定する

動いている点（動点）の座標を $ X $ と $ Y $ とします。

2. 条件に基づいて式を作成する

与えられた条件をもとに、$ X $ と $ Y $ を使って方程式を立てます。これにより、動点が満たすべき関係を明確にします。

3. 定義域や除外点に注意する

定義域（$ X $ や $ Y $ が取り得る値の範囲）や除外すべき点に注意してください。例えば、分母がゼロになる点や平方根の中が負になる点は除外します。

4. 図形と一緒に方程式を示す

最終的に、$(X,Y)$を$(x,y)$に置き換えて、求めた方程式とそれに対応する図形を一緒に示します。

$ふゅか$

ふゅか

定義域や除外点も見逃しちゃいけないポイント！例えば、平方根の中が負になるところとかね！

$はるか$

はるか

分母がゼロになる点も注意。計算ミスが起きやすい。

2. 例題

2.1. 例題1：動点と円

動点 Pが、2つの点 $ A(0, 0) $ と $ B(12, 12) $ に対して与えられた条件 $ AP^2 + BP^2 = 288$ を満たすような点Pの軌跡を求めなさい。

動点の座標を $ P(X, Y) $ とします。まず、$ A(0, 0) $ と動点 $ P(X, Y) $ の距離 $ AP^2 $ は以下のように表せます。

\[ AP^2 = X^2 + Y^2 \]

次に、点 $ B(12, 12) $ との距離 $ BP $ は以下のように表せます。

\[ BP^2 = (X – 12)^2 + (Y – 12)^2 \]

この2つの結果を $ AP^2 + BP^2 = 144 $ に代入します。

\[ X^2 + Y^2 + (X – 12)^2 + (Y – 12)^2 = 288 \]

展開すると、

\[ X^2 + Y^2 + (X^2 – 24X + 144) + (Y^2 – 24Y + 144) = 288 \]

これを簡単にすると、

\begin{align*}
2X^2 + 2Y^2 – 24X – 24Y + 288 &= 288\\
2X^2 + 2Y^2 – 24X – 24Y &= 0 \\
X^2 + Y^2 – 12X – 12Y&= 0
\end{align*}

したがって、

\[ (X – 6)^2 + (Y – 6)^2 = 72 \]

動点 $ P$ の軌跡は、中心 $ (6, 6) $、半径 $ 6\sqrt{2} $ の円を表します。また、求める軌跡は

\[ (x – 6)^2 + (y – 6)^2 = 72 \]

2.2. 例題2：動点と中点

点 $ Q(x, y) $ が円 $ x^2 + y^2 = 1 $ 上を動くとき、点 $ A(1, 0) $ と点 $ Q $ を結ぶ線分 $ AQ $ の中点 $ P $ の軌跡を求めなさい。

まず、点 $ A(1, 0) $ と点 $ Q(x, y) $ の中点 $ P(X,Y) $ の座標を計算します。中点の公式より、点 $ P $ の座標は次のように表されます。

\[ \left( X, Y \right) = \left( \frac{x + 1}{2}, \frac{y}{2} \right) \]

次に、点 $ Q(x, y) $ が円 $ x^2 + y^2 = 1 $ 上にあるという条件を使います。この条件により、$ x $ と $ y $ は次の式を満たします。

\[ x^2 + y^2 = 1 \]

ここで、

\[ x = 2X – 1, \quad y = 2Y\]

円の方程式 $ x^2 + y^2 = 1 $ に代入します。

\[ (2X – 1)^2 + (2Y)^2 = 1 \]

両辺を4であると、

\[ (X- \frac{1}{2})^2 +Y^2 = \frac{1}{4} \]

中心が $ \left( \frac{1}{2}, 0 \right) $、半径が $ \frac{1}{2} $ の円の方程式です。また、点 $ A(1, 0) $ と点 $ Q(1, 0) $ の場合は、線分の中点ではないので、除外する必要があります。したがって、点 $ P $ の軌跡は、中心 $ \left( \frac{1}{2}, 0 \right) $、半径 $ \frac{1}{2} $ の円です。ただし、$(1,0)$を除く。