【時間短縮】よく使われる対数の公式の計算例と証明について

1. 対数でよく使われる公式

対数では、時間短縮のために次の公式が利用されることがある。

2. 公式の証明

2.1. \( a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \)の証明

$(\log_b c)(\log_b a)$の積の順序を変えた等式

$$(\log_b c)(\log_b a) = (\log_b a)(\log_b c)$$

が成り立つ。対数の性質より、

$$(\log_b a^{\log_b c}) = (\log_b c^{\log_b a})$$

真数が等しいので、

$$a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$$

---

2.2. \( (\log_a b)(\log_b c) = \log_a c \)の証明

対数の底の変換公式を使います。

$$ \log_b c = \dfrac{\log_a c}{\log_a b} $$

したがって、

\[ (\log_a b)(\log_b c) = (\log_a b) \left( \dfrac{\log_a c}{\log_a b} \right) = \log_a c \]

2.3. \( \log_{a^n} b = \dfrac{1}{n} \log_a b \)の証明

対数の底の変換公式を使います。

\[ \log_{a^n} b = \dfrac{\log_a b}{\log_a a^n}=\frac{1}{n}\log_a b \]

2.4. \( \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a} \)の証明

底の変換公式を用いて変形します。

\[ \log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a} \]

3. 計算例

3.1. 例1：$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

\[ 2^{\log_4 8} = 8^{\log_4 2} \]

まずは各対数を求めます。

• \(\log_4 8 = \frac{\log 8}{\log 4} = \frac{3 \log 2}{2 \log 2} = \frac{3}{2}\)
• \(\log_4 2 = \frac{\log 2}{\log 4} = \frac{\log 2}{2 \log 2} = \frac{1}{2}\)

それぞれ代入して計算します。

\[ 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

\[ 8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

両辺が等しいことがわかります。

3.2. 例2：$(\log_a b)(\log_b c) = \log_a c$

\[ (\log_2 8)(\log_8 64) = \log_2 64 \]

まずは各対数を求めます。

• \(\log_2 8 = 3\)
• \(\log_8 64 = \frac{\log 64}{\log 8} = \frac{6 \log 2}{3 \log 2} = 2\)
• \(\log_2 64 = 6\)

左辺

\[ (\log_2 8)(\log_8 64) = 3 \times 2 = 6 \]

右辺

\[ \log_2 64 = 6 \]

両辺が等しいことが確認できます。

3.3. 例3：$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$

\[ \log_{3^2} 9 = \frac{1}{2} \log_3 9 \]

まずは各対数を求めます。

• \(\log_3 9 = 2\)

左辺

\[ \log_9 9 = 1 \]

右辺

\[ \frac{1}{2} \times 2 = 1 \]

両辺が等しいことがわかります。

3.4. 例4：$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

\[ \log_2 8 = \frac{1}{\log_8 2} \]

まずは各対数を求めます。

• \(\log_2 8 = 3\)
• \(\log_8 2 = \frac{1}{3}\)

右辺

\[ \frac{1}{\log_8 2} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 \]

両辺が等しいことが確認できます。