対数方程式とは？解き方や4つの例題について

1. 対数方程式

例えば、ログを含む方程式は

$$\log_2 (x-1)=3 $$

などがあります。

2. 基本的な解法

対数方程式を解く際の基本的な手順は次の通りです。

3. 対数方程式の例題

3.1. 例題1

真数条件より、$x+1>0$となる。

$\log_3 9 = 2$より、

\[ \log_3 (x + 1) = \log_3 9 \]

真数が等しいので、

\[ x = 9 – 1 = 8 \]

3.2. 例題2

真数条件より、$x>0$かつ$x – 3>0$となるので、$x>3$である。

対数の性質より

\[ \log_2 x (x – 3) = 3 \]

$\log_2 8= 3$より、

\[ \log_2 x (x – 3) = \log_2 8 \]

真数が等しいので、

\[ x^2 – 3x – 8 = 0 \]

因数分解すると、

\[ (x – 4)(x + 2) = 0 \]

よって、\(x = 4\) または \(x = -2\) ですが、$x>3$より、\(x = 4\) が解です。

3.3. 例題3：置換

$\log_3 x^2=2\log_3 x$より、$\log_3 x=t$とすると、与式は次のように置き換えることができる。

$$\begin{align*}& t^3 = 2t \\ & t(t^2-2)  =0 \\ & t(t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})  =0 \\ \end{align*}$$

$t=0,\sqrt{2},-\sqrt{2}$であることがわかりました。

真数条件は$x > 0$であるため、求める$t$の値から$x$を考えます。

$t = 0$のとき、

\[ x = 3^0 = 1 \]

$t = \sqrt{2}$のとき、

\[ x = 3^{\sqrt{2}} \]

$t = -\sqrt{2}$のとき、

\[ x = 3^{-\sqrt{2}} \]

$x$の値は$x = 1, 3^{\sqrt{2}}, 3^{-\sqrt{2}}$です。

3.4. 例題4

底が$x-3$であるので、$x>3$かつ$x-3 \neq 1$となる。また、真数条件より、$(x-3)^2>0$であるので、$x\neq 3$。

まとめると、$x>3$かつ$x\neq4$である。

対数の性質より、

\[ \log_{x-3} 4 = 2\log_2 (x-3) \]

ここで底を2に変換すると、

\[ \frac{\log_2 4}{\log_2 (x-3)} = 2\log_2 (x-3) \]

\(\log_2 4 = 2\) より、

\[ \frac{2}{\log_2 (x-3)} = 2\log_2 (x-3) \]

両辺に \(\log_2 (x-3)\) を掛けると、

\[ 2 = 2 (\log_2 (x-3))^2 \]

両辺を2で割ると、

\[ 1 = (\log_2 (x-3))^2 \]

両辺の平方根を取ると、

\[ \log_2 (x-3) = \pm 1 \]

$x>3$かつ$x\neq4$であることに注意して、それぞれの場合について解いていきます。

ケース 1: \(\log_2 (x-3) = 1\)

\[ x-3 = 2^1 = 2 \]

\[ x = 5 \]

ケース 2: \(\log_2 (x-3) = -1\)

\[ x-3 = 2^{-1} = \frac{1}{2} \]

\[ x = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \]

以上より、

\[ x = 5 \quad \text{または} \quad x = \frac{7}{2} \]