行列の指数関数の計算方法と例題をわかりやすく解説
「指数関数」と聞くと、多くの人が $ e^x $ のような数値の指数関数を思い浮かべるでしょう。しかし、実は行列にも指数関数を定義することができます。
では、行列に対して指数関数を考えるとはどういうことでしょうか？ たとえば、物理学や工学の分野では、ある変化を表す行列 $ A $ をもとに、時間 $ t $ に応じた変化を $ e^{At} $ の形で表現することがあります。これにより、システムの挙動を解析しやすくなります。
行列の指数関数は、通常の指数関数とどのように関係し、どんな性質を持っているのでしょうか？ まずは、基本的な定義から見ていきましょう。
1. 行列の指数関数
\[ e^A \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} A^k \]
ここで \(A^k\) は行列 \(A\) の \(k\) 乗で、\(A^0\) は単位行列 \(I\) と定義します。
2. 代表的な性質
可換（AB = BA の場合）
一方、一般の行列 \(A, B\) は可換でないことが多く、この場合は \(e^{A + B} = e^A e^B\) とは限りません。
この性質の証明については可換な行列を参考にしてください。
2.1. 対角化との関連
対角化可能行列 \(A\) に対して \(A = PDP^{-1}\)（ただし \(D\) は対角行列）となる場合は、 \[ e^A = Pe^D P^{-1} \quad \text{ただし} \quad e^D = \begin{pmatrix} e^{d_{11}} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & e^{d_{nn}} \end{pmatrix} \] すなわち、行列が対角化可能であれば、その固有値を指数関数に入れた対角行列に相似変換する形で簡単に求められます。
行列の指数関数は、
\[ e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} \]
と書けます。ここで、\( A = P D P^{-1} \) を代入すると、
\[ e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(P D P^{-1})^k}{k!} \]
となります。相似変換の累乗の性質より、
\[ (P D P^{-1})^k = P D^k P^{-1} \]
が成り立ちます。これを用いると、指数関数の級数展開は
\[ e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{P D^k P^{-1}}{k!} \]
行列の和や定数倍の演算では、相似変換の行列 \( P \) は前後に付いたまま保たれるので、
\[ e^A = P \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{D^k}{k!} \right) P^{-1} \]
括弧内の和は \( e^B \) なので、
\[ e^A = P e^D P^{-1} \]
が示されました。
3. 例題
3.1. 対角行列の場合
2×2行列 \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) について、\( e^A \) がどのような行列になるか計算しなさい。
\(2 \times 2\) 行列 \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] を考えます。よって \[ A^2 = -I, \quad A^3 = -A, \quad A^4 = I, \quad \dots \] という性質を使うと、指数関数を直接展開して偶数・奇数冪に分けることで
\[ \begin{aligned} e^A &= \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} \\ &= I + \frac{A}{1!} + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots \\ &= I + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} + \cdots \;+\; A \Biggl( \frac{1}{1!} + \frac{A^2}{3!} + \cdots \Biggr) \end{aligned} \]
偶数冪について考える。\( A^2 = -I \) であるため、偶数冪は
\[ A^{2k} = (A^2)^k = (-I)^k = (-1)^k I \]
となる。したがって、偶数冪のみの和は
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k I}{(2k)!} = I \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \]
この無限級数はマクローリン展開より \( \cos 1 \) に等しいので、
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{2k}}{(2k)!} = \cos 1 \cdot I \]
次に奇数冪について考える。\( A^3 = -A \) であるため、奇数冪は
\[ A^{2k+1} = A^{2k} \times A = (-1)^k I \times A = (-1)^k A \]
となる。したがって、奇数冪のみの和は
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k A}{(2k+1)!} = A \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \]
この無限級数はマクローリン展開より \( \sin 1 \) に等しいので、
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{2k+1}}{(2k+1)!} = A \sin 1 \]
したがって、指数関数の総和は
\[ e^A = \cos 1 \cdot I + A \sin 1 \]
したがって、最終的な結果は
\[ e^A = \begin{pmatrix} \cos 1 & \sin 1 \\ -\sin 1 & \cos 1 \end{pmatrix} \]
となる。これは回転行列の形になっている。
3.2. 対角化可能な場合
行列 \( A \) を
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]
とする。この行列の指数行列 \( e^A \) を求めよ。
まず、行列 \( A \) の固有値を求める。特性方程式は
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
より
\[ \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(2 - \lambda) = 0 \]
となる。これを解くと、固有値は \( \lambda_1 = 1 \), \( \lambda_2 = 2 \) である。
次に、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求める。固有値 \( \lambda_1 = 1 \) の場合、行列 \( A - I \) は
\[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
となる。この行列の解となるベクトルは
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = 0 \]
とすると
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
が固有ベクトルとなる。次に、固有値 \( \lambda_2 = 2 \) の場合、行列 \( A - 2I \) は
\[ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
となる。この行列の解となるベクトルは
\[ x_1 = x_2 \]
とすると
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
が固有ベクトルとなる。これらの固有ベクトルを用いて行列 \( P \) を作成すると
\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
となる。また、対角行列 \( D \) は
\[ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]
である。指数行列の計算において、対角行列 \( D \) に対して
\[ e^D = \begin{pmatrix} e^1 & 0 \\ 0 & e^2 \end{pmatrix} \]
が成り立つ。したがって、
\[ e^A = P e^D P^{-1} \]
を計算すればよい。まず、行列 \( P^{-1} \) を求める。行列 \( P \) の逆行列は
\[ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
となる。次に
\[ \begin{aligned} P e^D P^{-1} &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^1 & 0 \\ 0 & e^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} e^1 & e^2 \\ 0 & e^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} e^1 \cdot 1 + e^2 \cdot 0 & e^1 \cdot (-1) + e^2 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + e^2 \cdot 0 & 0 \cdot (-1) + e^2 \cdot 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} e^1 & e^2 - e^1 \\ 0 & e^2 \end{pmatrix} \end{aligned} \]
よって、指数行列 \( e^A \) は
\[ \begin{pmatrix} e & e^2 - e \\ 0 & e^2 \end{pmatrix} \]
となる。
