行列のn乗の4つの計算公式の証明と例題について
1. 行列の \(n\) 乗について
1.1. 対角行列の \(n\) 乗
\[ D^n = \begin{pmatrix} d_1^n & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_2^n & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & d_3^n & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & d_n^n \end{pmatrix} \]
対角行列 \(D\) の一般的な形は以下のように表せます。
\[ D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_2 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & d_3 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & d_n \end{pmatrix} \]
行列の積を考えると、対角行列同士の積も対角行列であり、その対角要素は対応する要素同士の積になります。したがって、対角行列 \(D\) の \(n\) 乗 \(D^n\) は次のようになります。
\[ D^n = \begin{pmatrix} d_1^n & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_2^n & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & d_3^n & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & d_n^n \end{pmatrix} \]
1.2. $A^2 = kA$
$$A^n=k^{n-1} A$$
行列 \(A\) が \(A^2 = kA\) を満たしている場合、数学的帰納法を用いて一般の \(n\) について示します。
\(n = 2\) の場合、条件より \(A^2 = kA\) です。
\(n=m\) の場合、仮定として \(A^m = k^{m-1} A\) が成り立つと仮定します。
$n=m+1$の場合、
\[ A^{m+1} = A^m \cdot A = (k^{m-1} A) \cdot A = k^{n-1} A^2 = k^{m-1} (kA) = k^m A \]
$n=m+1$の場合も成り立つ。したがって、数学的帰納法より \(A^n = k^{n-1} A\) が成り立つことが証明されました。
1.3. 回転行列のn乗
$$A^n=\begin{bmatrix}\cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix}$$
数学的帰納法を利用して証明します。
\( n = 1 \) のとき、明らかに \[ A^1 = A = \begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix} \] となり成り立ちます。
\( n=k \) に対して
\[ A^k = \begin{bmatrix}\cos (k\theta) & -\sin (k\theta) \\ \sin (k\theta) & \cos (k\theta)\end{bmatrix} \]
が成り立つと仮定します。
n=k+1の場合、
\[ A^{k+1} = A^k \cdot A \]
と表せます。仮定を使って \( A^k \) を代入すると、
\[ A^{k+1} = \begin{bmatrix}\cos (k\theta) & -\sin (k\theta) \\ \sin (k\theta) & \cos (k\theta)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix} \]
行列の積を計算すると、
\[ A^{k+1} = \begin{bmatrix} \cos (k\theta) \cos \theta – (-\sin (k\theta)) \sin \theta & \cos (k\theta) (-\sin \theta) + (-\sin (k\theta)) \cos \theta \\ \sin (k\theta) \cos \theta + \cos (k\theta) \sin \theta & \sin (k\theta) (-\sin \theta) + \cos (k\theta) \cos \theta \end{bmatrix} \]
各要素を整理すると、
\[ A^{k+1} = \begin{bmatrix} \cos (k\theta) \cos \theta + \sin (k\theta) \sin \theta & -\cos (k\theta) \sin \theta + \sin (k\theta) \cos \theta \\ \sin (k\theta) \cos \theta + \cos (k\theta) \sin \theta & -\sin (k\theta) \sin \theta + \cos (k\theta) \cos \theta \end{bmatrix} \]
三角関数の加法定理を用いると、
\[ \cos (k\theta + \theta) = \cos (k\theta) \cos \theta + \sin (k\theta) \sin \theta \]
\[ \sin (k\theta + \theta) = \sin (k\theta) \cos \theta + \cos (k\theta) \sin \theta \]
したがって、
\[ A^{k+1} = \begin{bmatrix} \cos ((k+1)\theta) & -\sin ((k+1)\theta) \\ \sin ((k+1)\theta) & \cos ((k+1)\theta) \end{bmatrix} \]
$n=k+1$の時も成り立つことがわかる。数学的帰納法により、自然数 \( n \) に対して \[ A^n = \begin{bmatrix}\cos (n\theta) & -\sin (n\theta) \\ \sin (n\theta) & \cos (n\theta)\end{bmatrix} \] が成り立つことが示されました。
1.4. 2×2の特殊な行列のn乗
$$A^n=\begin{bmatrix}1 & na \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
数学的帰納法を用いて、示します。
\(n = 1\) の場合、明らかに \(A^1 = A\) です。
\(n = k\) の場合、\(A^k = \begin{bmatrix}1 & ka \\ 0 & 1\end{bmatrix}\) が成り立つと仮定します。
$n=k+1$ の場合、
\[ A^{k+1} = A^k \cdot A = \begin{bmatrix}1 & ka \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & (k+1)a \\ 0 & 1\end{bmatrix} \]
$n=k+1$のときも成り立つ。したがって、数学的帰納法より \(A^n = \begin{bmatrix}1 & na \\ 0 & 1\end{bmatrix}\) が成り立つことが証明されました。
2. 例題
2.1. 例題1
$A^2$を計算すると、
$$A^2 =\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4& 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=2A$$
$A^2 = kA$が成り立つ場合、$A^n$は
$$A^n=k^{n-1} A$$
となるので、$A^{10}$は
$$A^{10}=2^9 A =2^9\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1024 & 1024 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$
2.2. 例題2
\[ A = \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \]
このとき、\( A^{10} \) を求めなさい。
\[ A^{10} = \begin{bmatrix}1 & 10 \times 5 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 50 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \]
