行列の和の計算方法と成り立つ計算法則について

ふゅか

今回は行列の和について話してみようと思うの。

はるか

行列の和は簡単。対応する要素を足すだけ。

1. 行列の和

例えば、以下のような2つの行列を考えます。

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]

行列の和 \( A + B \) は、対応する要素を足し合わせた結果となります。

\[ A + B = \begin{bmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]

このように、各位置の数値を足すことで、新しい行列を得ることができます。

2. 行列の和のルール

行列の和を計算する際に、基本的なルールがあります。

2.1. 同じサイズの行列でなければならない

行列の和は、同じ行と列を持つ行列同士でしか計算できません。例えば、\(2 \times 2\) の行列同士は和を取ることができますが、\(2 \times 2\) の行列と \(3 \times 3\) の行列は和を取ることができません。

はるか

行列の和は、同じサイズの行列同士じゃないと計算できない。たとえば、2×2と3×3は無理。

ふゅか

そうね！だから、行列の和を計算する前に、まず行と列のサイズが同じかを確認しないとダメなのよね。もしサイズが違ってたら、そのまま計算はできないから注意してね。

2.2. 対応する要素を足す

行列の和は、各行と列の対応する要素同士を足し合わせることで得られます。たとえば、\(A_{ij}\) と \(B_{ij}\) は、それぞれ行列 \(A\) と \(B\) の \(i\) 行 \(j\) 列の要素を表し、和の行列 \(C\) の要素 \(C_{ij}\) は次のように計算されます。

\[ C_{ij} = A_{ij} + B_{ij} \]

2.3. 具体例

行列の和のルールを踏まえたうえで、以下に、もう一つの例を示します。

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 7 & -3 & 6 \end{bmatrix} \]

この場合、行列の和 \( A + B \) は次のように計算されます。

\[ A + B = \begin{bmatrix} 2 + 1 & -1 + 4 & 4 + (-2) \\ 0 + 7 & 3 + (-3) & 5 + 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 2 \\ 7 & 0 & 11 \end{bmatrix} \]

3. 行列の和の性質

3.1. 可換性

行列 \( A \) と \( B \) を、同じサイズの \(m \times n\) 行列とします。

\[ A = [a_{ij}], \quad B = [b_{ij}] \]

行列の和 \( A + B \) は、対応する要素を足し合わせた行列です。

\[ A + B = [a_{ij} + b_{ij}] \]

同様に、行列 \( B + A \) も対応する要素を足し合わせた行列です。

\[ B + A = [b_{ij} + a_{ij}] \]

加法の可換性により、任意の \( i, j \) に対して \( a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij} \) が成り立つため、

\[ A + B = B + A \]

はるか

順番を変えても結果は同じ。

3.2. 結合法則

行列 \( A \), \( B \), \( C \) を、同じサイズの \(m \times n\) 行列とします。

\[ A = [a_{ij}], \quad B = [b_{ij}], \quad C = [c_{ij}] \]

まず、\( A + B \) を計算すると、

\[ A + B = [a_{ij} + b_{ij}] \]

次に、\((A + B) + C\) を計算します。

\[ (A + B) + C = [(a_{ij} + b_{ij}) + c_{ij}] \]

同様に、\( B + C \) を計算すると、

\[ B + C = [b_{ij} + c_{ij}] \]

次に、\( A + (B + C) \) を計算します。

\[ A + (B + C) = [a_{ij} + (b_{ij} + c_{ij})] \]

加法の結合法則により、任意の \( i, j \) に対して

\[ (a_{ij} + b_{ij}) + c_{ij} = a_{ij} + (b_{ij} + c_{ij}) \]

が成り立つため、

\[ (A + B) + C = A + (B + C) \]

3.3. 零行列

行列 \( A \) を \(m \times n\) 行列とし、零行列 \( O \) を全ての要素が 0 の \(m \times n\) 行列とします。

\[ A = [a_{ij}], \quad O = [0] \]

行列の和 \( A + O \) は、対応する要素を足し合わせた行列です。

\[ A + O = [a_{ij} + 0] \]

任意の \( i, j \) に対して \( a_{ij} + 0 = a_{ij} \) が成り立つため、

\[ A + O = A \]

はるか

零行列は加法の単位元。

4. 例題

4.1. 行列の和の例題

行列の和 \(A + B\) を計算するには、対応する要素を足し合わせます。

\[ A + B = \begin{bmatrix} 1 + 9 & 1 + 19 \\ 54 + 12456 & 8 + 12 \end{bmatrix} \]

各要素を計算すると

\[ A + B = \begin{bmatrix} 10 & 20 \\ 12510 & 20 \end{bmatrix} \]

4.2. 交換法則の例題

まず、$A + (B + C)$を求めます。

$$\begin{align*} A + (B + C) &= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} + \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \right) \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 10 \end{bmatrix} \end{align*}$$

次に、$(A + B) + C$ を求めます。

$$\begin{align*} (A + B) + C &= \left(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \right) + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 10 \end{bmatrix} \end{align*}$$

両辺が等しいため、$A+(B+C)=(A+B)+C$が成り立ちます。