距離空間と距離関数・定義・具体例・三角不等式について
1. 距離空間の定義
- $d(x, y) = 0 \iff x = y$
- $d(x, y) = d(y, x)$
- $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$
1.1. 距離空間の公理の意味
- 非退化性: $d(x, y) = 0 \iff x = y$
- 距離は常に0以上であり、2点が同じ点である場合にのみ距離が0になります。
- 対称性: \( d(x, y) = d(y, x) \)
- これは、点 \( x \) から点 \( y \) までの距離が、点 \( y \) から点 \( x \) までの距離と等しいことを意味します。
- 三角不等式: \( d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \)
- これは、点 \( x \) から点 \( z \) への距離が、途中の点 \( y \) を経由する距離の和以上であることを意味します。
2. 距離空間の具体例
2.1. ユークリッド距離
点 \( x = (x_1, \ldots, x_n) \)、\( y = (y_1, \ldots, y_n) \)、および \( z = (z_1, \ldots, z_n) \) に対して、以下のベクトルを定義します。
\[ a_i = z_i - x_i, \quad b_i = y_i - z_i \]
次の関係が成り立ちます。
\[ a_i + b_i = (z_i - x_i) + (y_i - z_i) = y_i - x_i \]
これを利用して、\( d(x, y) \) の二乗は次のように書き換えることができます。
\[ (d(x, y))^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - x_i)^2 = \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2 \]
\[ = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i b_i + \sum_{i=1}^n b_i^2 \]
ここで、\( \sum_{i=1}^n a_i^2 \) は \( d(x, z) \) の二乗、\( \sum_{i=1}^n b_i^2 \) は \( d(z, y) \) の二乗、にそれぞれ対応します。したがって、この式は次のようになります。
\[ = (d(x, z))^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i b_i + (d(z, y))^2 \]
ここで、コーシー・シュワルツの不等式 より、 次の不等式が得られます。
\[ \sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} = 2d(x, z) \cdot d(z, y) \]
したがって、次のように書き直せます。
\[ (d(x, y))^2= (d(x, z))^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i b_i + (d(z, y))^2 \leq (d(x, z))^2 + 2d(x, z) \cdot d(z, y) + (d(z, y))^2 \]
\[ (d(x, y))^2 \leq \left( d(x, z) + d(z, y) \right)^2 \]
これで、$d(x, y)\geq 0,\quad d(x, z) + d(z, y)\geq 0$より、
\[ d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) \]
が得られます。
ユークリッド距離 \( d\) が三角不等式を満たすことが証明されました。
2.2. マンハッタン距離
\[ d(x, z) = \sum_{i=1}^n |x_i - z_i| \]
\[ d(x, y) + d(y, z) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i| + \sum_{i=1}^n |y_i - z_i| \]
$d(x, z) $から不等式を導きます。
\[ d(x, z) = \sum_{i=1}^n |x_i - z_i| \]
$$= \sum_{i=1}^n |x_i-y_i - (z_i-y_i)|$$
$$\leq \sum_{i=1}^n |x_i-y_i| + |y_i-z_i|$$
$$= \sum_{i=1}^n |x_i-y_i| + \sum_{i=1}^n|y_i-z_i|$$
$$= d(x, y) + d(y, z)$$
したがって、
\[ d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \]
2.3. 離散距離
\[ d(x, y) = \begin{cases} 0 & ( x = y )\\ 1 & ( x \neq y ) \end{cases} \]
[1] \( x = y = z \) の場合
この場合、すべての点が同じため、次が成り立ちます。
\[ d(x, z) = 0, \quad d(x, y) = 0, \quad d(y, z) = 0 \]
したがって、
\[ d(x, z) = 0 \leq 0 + 0 = d(x, y) + d(y, z) \]
[2]\( x = y \neq z \) または \( y = z \neq x \) または \( x = z \neq y \) の場合
この場合、いずれかの2点が等しく、1点が異なるので、例えば \( x = y \) で \( z \) が異なるとします。このとき、
\[ d(x, z) = 1, \quad d(x, y) = 0, \quad d(y, z) = 1 \]
したがって、
\[ d(x, z) = 1 \leq 0 + 1 = d(x, y) + d(y, z) \]
同様に、他の2点が等しい場合でも同じ不等式が成り立ちます。
[3] \( x \neq y \neq z \) で \( x \neq z \) の場合
この場合、すべての点が異なり、次が成り立ちます。
\[ d(x, z) = 1, \quad d(x, y) = 1, \quad d(y, z) = 1 \]
したがって、
\[ d(x, z) = 1 \leq 1 + 1 = d(x, y) + d(y, z) \]
以上より、離散距離 \( d \) が三角不等式を満たしていることを確認できました。
