モーメント母関数と正規分布の期待値と分散について

確率分布の特徴を調べるときに便利な道具としてモーメント母関数（Moment Generating Function: MGF）があります。本記事では、モーメント母関数とは何かを明らかにし、それが正規分布とどのような関係を持つのか、解説していきます。

1. モーメント母関数とは？

2. 正規分布のモーメント母関数

2.1. 正規分布の定義

確率変数 \( X \) が平均 \( \mu \)、分散 \( \sigma^2 \) の正規分布に従うとき、

\[ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \]

その確率密度関数は、

\[ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \]

となります。

2.2. モーメント母関数の導出

モーメント母関数 \( M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] \) を計算します。

$$\begin{align*} M_X(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \cdot f_X(x) \, dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) dx. \end{align*}$$

これを整理すると：

\[ = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( tx - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) dx \]

指数の中を整理します：

\[ tx - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} = -\frac{1}{2\sigma^2}(x - \mu - \sigma^2 t)^2 + \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \]

これを使って積分を評価すると、ガウス積分より：

\[ M_X(t) = \exp\left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) \]

もちろんです。2乗平均（\(\mathbb{E}[X^2]\)）の導出も丁寧に追記しますね。以下に「2乗平均の導出」のセクションを含めた改訂版を示します。

3. 期待値と分散

3.1. 期待値

モーメント母関数： \[ M_X(t) = \exp\left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) \]

これを1回微分して、\( t = 0 \) を代入すると：

\[ \begin{align*} M_X'(t) &= \left( \mu + \sigma^2 t \right) \exp\left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right), \\ M_X'(0) &= \mu \cdot \exp(0) = \mu. \end{align*} \]

3.2. 分散の導出

今度は2回微分して、\( t = 0 \) を代入します。

まず1回微分（先ほどと同じ）：

\[ M_X'(t) = \left( \mu + \sigma^2 t \right) \exp\left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) \]

次に2回微分：

\[ \begin{align*} M_X”(t) &= \sigma^2 \exp\left(\mu t + \frac{\sigma^2t^2}{2}\right) + \left(\mu + \sigma^2t\right)^2 \exp\left(\mu t + \frac{\sigma^2t^2}{2}\right) \\ &= \left[ \sigma^2 + \left(\mu + \sigma^2t\right)^2 \right] \exp\left(\mu t + \frac{\sigma^2t^2}{2}\right). \end{align*}\]

これを整理すると：

\[ M_X”(t) = \left( \sigma^2 + \left( \mu + \sigma^2 t \right)^2 \right) \exp\left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) \]

\( t = 0 \) を代入：

\[ M_X”(0) = \left( \sigma^2 + \mu^2 \right) \cdot \exp(0) = \sigma^2 + \mu^2 \]

つまり、

\[ \mathbb{E}[X^2] = M_X”(0) = \sigma^2 + \mu^2 \]

分散は、次の式で与えられます：

\[ \mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - \left(\mathbb{E}[X]\right)^2 = (\sigma^2 + \mu^2) - \mu^2 = \sigma^2 \]